Em uma linha adutora de água de 60 km de extensão, o número médio de vazamentos em um mês é igual a 4. Qual é a probabilidade de ocorrer, durante um mês, pelo menos 1 vazamento em certo setor de 3 km ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! A gente tem uma linha de água de 60 km de comprimento e, em média, ocorrem 4 vazamentos por mês nessa linha toda. A pergunta é: qual a chance de ter pelo menos 1 vazamento em um trecho específico de 3 km durante um mês?
Vamos usar um pouco de probabilidade e processos de Poisson pra resolver isso. Vou te guiar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a taxa média de vazamentos no trecho de 3 km. Sabemos que na linha inteira de 60 km tem, em média, 4 vazamentos por mês. Então, qual a taxa para 3 km?
A gente faz uma regra de três simples:
Então, a média de vazamentos no trecho de 3 km por mês é 0,2 vazamentos.
Passo 3
Agora, vamos usar a distribuição de Poisson pra calcular a probabilidade. A distribuição de Poisson é ótima pra contar eventos que acontecem de forma aleatória em um certo intervalo (no nosso caso, tempo e espaço).
A fórmula da distribuição de Poisson é:
Onde:
- $ \lambda $ é a taxa média (nossa 0,2)
- $ k $ é o número de eventos que queremos calcular a probabilidade (no caso, pelo menos 1 vazamento)
Passo 4
Queremos a probabilidade de pelo menos 1 vazamento, ou seja, $ P(X \geq 1)
P(X = 0) $) e subtrair de 1.
Vamos calcular $ P(X = 0) $ usando a fórmula de Poisson com $ k = 0 $:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor de $ e^{-0,2} $. Sabemos que $ e^{-0,2} \approx 0,8187 $.
Então:
Resposta
A probabilidade de ocorrer pelo menos 1 vazamento no trecho de 3 km durante um mês é aproximadamente 18,13%.