Um perfil de velocidade adequado para descrever o escoamento turbulento em tubos é
\mathbf{V}=u_{e}\left(\frac{R-r}{R}\right)^{1 / n} \hat{\mathbf{i}}
onde u_{c} é a velocidade na linha de centro do tubo, r é a coordenada radial, R é o raio do tubo e î é o versor alinhado com a linha de centro do tubo. Determine a razão entre a velocidade média, \bar{u}, \mathrm{c} a velocidade no centro, u, para
n=10

Passo 1

O enunciado nos dá o perfil de velocidade em escoamento turbulento num tubo de raio R:
\mathbf{V}(r)=u_{c}\Bigl(\frac{R-r}{R}\Bigr)^{1/n}\hat{\mathbf{i}},
e pede a razão entre a velocidade média \bar{u} e a velocidade de centro u_{c} para n=10. Vamos usar a definição de velocidade média em coordenadas cilíndricas:
\bar{u}=\frac{1}{A}\int_{A}u(r)\,dA,
com A=\pi R^2 e dA=2\pi r\,dr.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a integral, temos
\bar{u} =\frac{1}{\pi R^2} \int_{0}^{R}u_{c}\Bigl(\frac{R-r}{R}\Bigr)^{1/n}2\pi r\,dr =2u_{c}\,\frac{1}{R^2} \int_{0}^{R}\Bigl(\frac{R-r}{R}\Bigr)^{1/n}r\,dr.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável adimensional x=r/R. Então r=R\,x e dr=R\,dx, e o integral vira
\bar{u} =2u_{c} \int_{0}^{1}(1-x)^{1/n}x\,dx.
Logo a razão buscada é
\frac{\bar{u}}{u_{c}} =2\int_{0}^{1}x\,(1-x)^{1/n}dx.

Passo 4

Reconhecemos o integral como uma função Beta:
\int_{0}^{1}x^{2-1}(1-x)^{(1/n)}dx =B(2,1+\tfrac{1}{n}) =\frac{\Gamma(2)\,\Gamma(1+\tfrac{1}{n})}{\Gamma(3+\tfrac{1}{n})}.
Portanto
\frac{\bar{u}}{u_{c}} =2\,B\Bigl(2,1+\tfrac{1}{n}\Bigr) =2\frac{\Gamma(2)\,\Gamma(1+\tfrac{1}{n})}{\Gamma(3+\tfrac{1}{n})}.

Passo 5

Usando \Gamma(2)=1 e \Gamma(3+\tfrac1n)=(2+\tfrac1n)(1+\tfrac1n)\,\Gamma(1+\tfrac1n), simplifica-se a razão:
\frac{\bar{u}}{u_{c}} =\frac{2}{\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)\bigl(2+\tfrac{1}{n}\bigr)} =\frac{2n^2}{(n+1)(2n+1)}.

Passo 6

Agora basta pôr n=10:
\frac{\bar{u}}{u_{c}} =\frac{2\cdot10^2}{(10+1)(2\cdot10+1)} =\frac{200}{11\cdot21} =\frac{200}{231}\approx0,866.

Resposta

\frac{\bar{u}}{u_{c}}\approx0,866\quad(\text{para }n=10).

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