Um perfil de velocidade adequado para descrever o escoamento turbulento em tubos é
onde
é a velocidade na linha de centro do tubo,
é a coordenada radial,
é o raio do tubo e î é o versor alinhado com a linha de centro do tubo. Determine a razão entre a velocidade média,
a velocidade no centro,
, para
Passo 1
O enunciado nos dá o perfil de velocidade em escoamento turbulento num tubo de raio
:
e pede a razão entre a velocidade média
e a velocidade de centro
para
. Vamos usar a definição de velocidade média em coordenadas cilíndricas:
com
e
.
Passo 2
Escrevendo explicitamente a integral, temos
Passo 3
Fazemos a mudança de variável adimensional
. Então
e
, e o integral vira
Logo a razão buscada é
Passo 4
Reconhecemos o integral como uma função Beta:
Portanto
Passo 5
Usando
e
, simplifica-se a razão:
Passo 6
Agora basta pôr
: