Um perfil de velocidade adequado para descrever o escoamento turbulento em tubos é
onde
é a velocidade na linha de centro do tubo,
é a coordenada radial,
é o raio do tubo e î é o versor alinhado com a linha de centro do tubo. Determine a razão entre a velocidade média,
a velocidade no centro,
, para
Passo 1
O enunciado fornece o perfil de velocidade turbulento em tubo
e pede a razão entre a velocidade média
e a velocidade de centro
para
. O conteúdo envolve média de velocidade por integração em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
A velocidade média
é definida como a integral da velocidade sobre a área da seção dividida pela área total:
Para um tubo cilíndrico de raio
,
e em coordenadas radiais
.
Passo 3
Substituindo o perfil e a área,
Cancelando
,
Passo 4
Para tornar a integral adimensional, fazemos
, de onde
e
. Os limites
e
. Assim,
Passo 5
Substituindo de volta em
, os fatores em
cancelam e obtemos
Passo 6
A integral divide-se em duas potências:
Usando
,
Passo 7
Portanto
e
Passo 8
Para
: