Um perfil de velocidade adequado para descrever o escoamento turbulento em tubos é
\mathbf{V}=u_{e}\left(\frac{R-r}{R}\right)^{1 / n} \hat{\mathbf{i}}
onde u_{c} é a velocidade na linha de centro do tubo, r é a coordenada radial, R é o raio do tubo e î é o versor alinhado com a linha de centro do tubo. Determine a razão entre a velocidade média, \bar{u}, \mathrm{c} a velocidade no centro, u, para
n=8 \mathrm{e}

Passo 1

O enunciado fornece o perfil de velocidade turbulento em tubo
\mathbf{V}=u_{c}\Bigl(\frac{R-r}{R}\Bigr)^{1/n}\hat{\mathbf{i}}
e pede a razão entre a velocidade média \bar{u} e a velocidade de centro u_{c} para n=8. O conteúdo envolve média de velocidade por integração em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

A velocidade média \bar{u} é definida como a integral da velocidade sobre a área da seção dividida pela área total:
\bar{u}=\frac{1}{A}\int_{A}u\,\mathrm{d}A
Para um tubo cilíndrico de raio R, A=\pi R^{2} e em coordenadas radiais \mathrm{d}A=2\pi r\,\mathrm{d}r.

Passo 3

Substituindo o perfil e a área,
\bar{u} =\frac{1}{\pi R^{2}} \int_{0}^{R} u_{c}\Bigl(\tfrac{R-r}{R}\Bigr)^{1/n} \;2\pi r\,\mathrm{d}r
Cancelando \pi,
\bar{u} =\frac{2u_{c}}{R^{2}} \int_{0}^{R} r\Bigl(\tfrac{R-r}{R}\Bigr)^{1/n} \mathrm{d}r.

Passo 4

Para tornar a integral adimensional, fazemos x=(R-r)/R, de onde r=R(1-x) e \mathrm{d}r=-R\,\mathrm{d}x. Os limites r=0\to x=1 e r=R\to x=0. Assim,
\int_{0}^{R}r\,(R-r)^{1/n}\mathrm{d}r =R^{2+1/n}\int_{0}^{1}(1-x)\,x^{1/n}\mathrm{d}x.

Passo 5

Substituindo de volta em \bar{u}, os fatores em R cancelam e obtemos
\frac{\bar{u}}{u_{c}} =2\int_{0}^{1}x^{1/n}(1-x)\,\mathrm{d}x.

Passo 6

A integral divide-se em duas potências:
\int_{0}^{1}x^{1/n}(1-x)\mathrm{d}x =\int_{0}^{1}x^{1/n}\mathrm{d}x -\int_{0}^{1}x^{1/n+1}\mathrm{d}x.
Usando \displaystyle\int_{0}^{1}x^{m}\mathrm{d}x=\tfrac{1}{m+1},
\int_{0}^{1}x^{1/n}\mathrm{d}x=\frac{1}{1+\frac{1}{n}} =\frac{n}{n+1}, \quad \int_{0}^{1}x^{1/n+1}\mathrm{d}x=\frac{1}{2+\frac{1}{n}} =\frac{n}{2n+1}.

Passo 7

Portanto
\int_{0}^{1}x^{1/n}(1-x)\mathrm{d}x =\frac{n}{n+1}-\frac{n}{2n+1} =\frac{n^{2}}{(n+1)(2n+1)},
e
\frac{\bar{u}}{u_{c}} =2\,\frac{n^{2}}{(n+1)(2n+1)}.

Passo 8

Para n=8:
\frac{\bar{u}}{u_{c}} =2\,\frac{8^{2}}{(8+1)(2\cdot8+1)} =\frac{2\cdot64}{9\cdot17} =\frac{128}{153}\approx0,837.

Resposta

\frac{\bar{u}}{u_{c}}=\frac{128}{153}\approx0,837\quad(n=8).

Exercícios relacionados