Pergunta 3
2 pts
Uma partícula pontual de carga Q=4 e está fixa na posição x=0.
Um próton é colocado na posição x=7 m e liberado a partir do repouso.
Calcule a velocidade ( em m / s ) que o próton terá ao chegar na posição x=38 m.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o problema nos apresenta. Temos uma partícula com carga Q = 4,e fixa na posição x = 0,m. Um próton, que também possui carga positiva, é colocado na posição x = 7,m e liberado do repouso. Nosso objetivo é calcular a velocidade desse próton quando ele chegar na posição x = 38,m.
Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de energia elétrica e conservação de energia, além de algumas fórmulas da força eletrostática. Precisaremos conhecer a carga do próton, a constante de Coulomb e a massa do próton.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as cargas envolvidas. A carga fixa é Q = 4,e e a carga do próton é q = +e. Onde e é a carga elementar, aproximadamente 1,6 times 10^-19,C.

Passo 3

Em seguida, vamos lembrar que a força eletrostática entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
F = ke |Q cdot q|d^2
onde:
  • F é a força eletrostática,
  • ke é a constante de Coulomb, aproximadamente 8,99 times 10^9,N,m^2/C^2,
  • d é a distância entre as cargas.
No entanto, para calcular a velocidade final, usaremos a conservação da energia, que é uma abordagem mais direta.

Passo 4

A energia potencial elétrica ( U) de uma carga em um campo elétrico é dada por:
U = ke Q cdot qx
onde x é a distância entre as cargas.
Quando o próton é liberado do repouso, toda a energia potencial elétrica será convertida em energia cinética ( K) à medida que ele se move para a posição final. A energia cinética é dada por:
K = 12 m v^2
onde:
  • m é a massa do próton, aproximadamente 1,67 times 10^-27,kg,
  • v é a velocidade que queremos encontrar.

Passo 5

Aplicando a conservação da energia, a diferença na energia potencial entre as posições inicial ( xi = 7,m) e final ( xf = 38,m) será igual à energia cinética adquirida pelo próton:
Ui - Uf = K
Substituindo as fórmulas de U e K:
ke Q cdot qxi - ke Q cdot qxf = 12 m v^2

Passo 6

Agora, podemos resolver para v. Primeiro, fatoramos ke Q q:
ke Q q ( 1xi - 1xf ) = 12 m v^2
Isolando v:
v = raiz 2 ke Q q ( 1xi - 1xf ) m

Passo 7

Substituindo os valores numéricos:
Q = 4,e = 4 times 1,6 times 10^-19,C = 6,4 times 10^-19,C
q = 1,e = 1,6 times 10^-19,C
xi = 7,m, xf = 38,m
ke = 8,99 times 10^9,N,m^2/C^2, m = 1,67 times 10^-27,kg
Substituindo esses valores na equação:
v = raiz 2 times 8,99 times 10^9 times 6,4 times 10^-19 times 1,6 times 10^-19 ( 17 - 138 ) 1,67 times 10^-27

Passo 8

Calculando passo a passo:
Primeiro, calcule o termo dentro dos parênteses:
17 - 138 approx 0,1429 - 0,0263 = 0,1166,m^-1
Agora, multiplique os termos constantes:
2 times 8,99 times 10^9 times 6,4 times 10^-19 times 1,6 times 10^-19 approx 2 times 8,99 times 6,4 times 1,6 times 10^-29 approx 1,841 times 10^-27,J,m
Multiplicando pelo termo calculado:
1,841 times 10^-27 times 0,1166 approx 2,148 times 10^-28,J
Dividindo pela massa do próton:
2,148 times 10^-281,67 times 10^-27 approx 0,1287,m^2/s^2
Finalmente, tirando a raiz quadrada:
v = raiz0,1287 approx 0,3589,m/s

Resposta

A velocidade do próton ao chegar na posição x = 38,m é aproximadamente 0,36,m/s.

Exercícios relacionados