Uma partícula pontual de carga está fixa na posição .
Um próton é colocado na posição e liberado a partir do repouso.
Calcule a velocidade ( ) que o próton terá ao chegar na posição .
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o problema nos apresenta. Temos uma partícula com carga fixa na posição . Um próton, que também possui carga positiva, é colocado na posição e liberado do repouso. Nosso objetivo é calcular a velocidade desse próton quando ele chegar na posição .
Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de energia elétrica e conservação de energia, além de algumas fórmulas da força eletrostática. Precisaremos conhecer a carga do próton, a constante de Coulomb e a massa do próton.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as cargas envolvidas. A carga fixa é e a carga do próton é . Onde é a carga elementar, aproximadamente .
Passo 3
Em seguida, vamos lembrar que a força eletrostática entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
onde:
é a força eletrostática,
é a constante de Coulomb, aproximadamente ,
é a distância entre as cargas.
No entanto, para calcular a velocidade final, usaremos a conservação da energia, que é uma abordagem mais direta.
Passo 4
A energia potencial elétrica () de uma carga em um campo elétrico é dada por:
onde é a distância entre as cargas.
Quando o próton é liberado do repouso, toda a energia potencial elétrica será convertida em energia cinética () à medida que ele se move para a posição final. A energia cinética é dada por:
onde:
é a massa do próton, aproximadamente ,
é a velocidade que queremos encontrar.
Passo 5
Aplicando a conservação da energia, a diferença na energia potencial entre as posições inicial () e final () será igual à energia cinética adquirida pelo próton:
Substituindo as fórmulas de e :
Passo 6
Agora, podemos resolver para . Primeiro, fatoramos :
Isolando :
Passo 7
Substituindo os valores numéricos:
Q = 4,e = 4 times 1,6 times 10^-19,C = 6,4 times 10^-19,C
q = 1,e = 1,6 times 10^-19,C
xi = 7,m, xf = 38,m
ke = 8,99 times 10^9,N,m^2/C^2, m = 1,67 times 10^-27,kg
Substituindo esses valores na equação:
v = raiz 2 times 8,99 times 10^9 times 6,4 times 10^-19 times 1,6 times 10^-19 ( 17 - 138 ) 1,67 times 10^-27
Passo 8
Calculando passo a passo:
Primeiro, calcule o termo dentro dos parênteses:
17 - 138 approx 0,1429 - 0,0263 = 0,1166,m^-1
Agora, multiplique os termos constantes:
2 times 8,99 times 10^9 times 6,4 times 10^-19 times 1,6 times 10^-19 approx 2 times 8,99 times 6,4 times 1,6 times 10^-29 approx 1,841 times 10^-27,J,m
Multiplicando pelo termo calculado:
1,841 times 10^-27 times 0,1166 approx 2,148 times 10^-28,J
Dividindo pela massa do próton:
2,148 times 10^-281,67 times 10^-27 approx 0,1287,m^2/s^2
Finalmente, tirando a raiz quadrada:
v = raiz0,1287 approx 0,3589,m/s
Resposta
A velocidade do próton ao chegar na posição x = 38,m é aproximadamente 0,36,m/s.