Perguntas
10. Como varia a energia cinética média de translação de uma molécula num gás cuja pressão duplica enquanto o volume se mantém constante? E se o volume for duplicado, enquanto a pressão se mantém constante?
11. Qual o fator pelo qual se deve multiplicar a temperatura absoluta de ùm gás a firm de duplicar a velocidade média quadrática das suas moléculas?
12. Você esperaria que todas as moléculas num volume de umgás tivessem a mesma velocidade escalar?
13. Dois corpos gasosos têm a mesma temperatura. As suas moléculas têm, necessariamente, as mesmas velocidades médias quadráticas? Explique.

Passo 1

O enunciado traz quatro perguntas sobre gás ideal e cinética molecular:
– Como varia a energia cinética média de translação de uma molécula se a pressão ou o volume mudam?
– Qual o fator para duplicar a velocidade quadrática média ao mudar a temperatura?
– Se todas as moléculas num gás tivessem a mesma velocidade escalar?
– Se dois gases à mesma temperatura têm necessariamente a mesma velocidade quadrática média nas suas moléculas?
Para responder vamos usar a lei dos gases ideais,
pV = nRT,
o teorema da equipartição,
\bar{E}_{\mathrm{cin}} = \tfrac{3}{2}\,kT,
e a relação da velocidade quadrática média,
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}.

Passo 2

Pergunta 10: Como varia \bar{E}_{\mathrm{cin}} se a pressão duplica mantendo o volume constante?
Pela lei dos gases ideais, se V é constante e p duplica, então pV dobra. Como
pV \propto T,
a temperatura T dobra. E pelo teorema da equipartição, \bar{E}_{\mathrm{cin}}\propto T, logo \bar{E}_{\mathrm{cin}} também dobra.

Passo 3

Ainda na pergunta 10: e se o volume duplica mantendo a pressão constante?
Agora p fixo e V dobra, então pV dobra, o que implica T dobrada. Novamente \bar{E}_{\mathrm{cin}}\propto T dobra.

Passo 4

Pergunta 11: Qual o fator para multiplicar a temperatura absoluta de modo a duplicar v_{\mathrm{rms}}?
Como
v_{\mathrm{rms}}\propto \sqrt{T},
seja T' a nova temperatura. Para ter
v_{\mathrm{rms}}' = 2\,v_{\mathrm{rms}}
precisamos de
2 = \sqrt{\frac{T'}{T}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{T'}{T} = 4.

Passo 5

Pergunta 12: Esperaria que todas as moléculas tivessem a mesma velocidade escalar?
Não. Num gás em equilíbrio térmico as velocidades seguem a distribuição de Maxwell– Boltzmann, que é ampla, logo cada molécula tem velocidade diferente, embora com distribuição bem– definida.

Passo 6

Pergunta 13: Dois corpos gasosos à mesma temperatura têm necessariamente mesmas velocidades quadráticas médias?
Depende da massa das moléculas. Pelo teorema da equipartição, todas as moléculas (de mesma massa) têm a mesma \bar{E}_{\mathrm{cin}} e, portanto, o mesmo v_{\mathrm{rms}}. Mas se as massas são diferentes,
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}
será diferente mesmo com a mesma T.

Resposta

10. Em ambos os casos (pressão duplicada a volume constante; volume duplicado a pressão constante), \bar{E}_{\mathrm{cin}} dobra.
11. Deve multiplicar a temperatura por 4 para dobrar v_{\mathrm{rms}}.
12. Não: as velocidades seguem a distribuição de Maxwell–Boltzmann e variam de molécula para molécula.
13. Não necessariamente: moléculas de massas diferentes têm v_{\mathrm{rms}} diferentes, pois v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{3kT/m}.

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