Em um período de estiagem ocorrido no passado, a vazão de um rio era de
, quando o volume total de água armazenada subterraneamente era de 100 milhões de
. A vazão deste mesmo rio, em janeiro de 1977 era de
. Sabendo-se que não choveu durante dezembro de 1976, determinar o tempo máximo de enchimento de um reservatório cuja capacidade é de 60 milhões de
, desprezando as perdas por infiltração nas paredes e no fundo do reservatório.
(41,3 dias)
(41,3 dias)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
- Vazão do rio em um período de estiagem:
. - Volume total de água subterrânea correspondente nesse período de estiagem:
(100 milhões de ). - Vazão do mesmo rio em janeiro de 1977:
. - Informação adicional: não choveu durante dezembro de 1976 (ou seja, não houve recarga nesse mês).
- Capacidade do reservatório a encher:
(60 milhões de ).
O que o enunciado pede: - Determinar o tempo máximo de enchimento do reservatório, desprezando infiltrações nas paredes e no fundo.
Passo 2
Escolha de modelo e hipótese física (explicando como proceder):
- Vamos assumir a relação linear mais simples entre vazão do rio e volume de água subterrânea: a vazão que sai do aquífero para o rio é proporcional ao volume armazenado no aquífero. Escrevemos isso como
onde
é a vazão do rio (em
),
é o volume subterrâneo armazenado (em
) e
é uma constante de proporcionalidade (em
).
Essa hipótese é comum em problemas simples de hidrologia quando se aproxima o escoamento base como proporcional ao estoque: é um modelo linear de descarga de um reservatório (ou aquífero).
Essa hipótese é comum em problemas simples de hidrologia quando se aproxima o escoamento base como proporcional ao estoque: é um modelo linear de descarga de um reservatório (ou aquífero).
- Usamos os dados do período de estiagem para determinar
. Com e ,
Passo 3
Cálculo de
:
Comentário de unidade:
tem dimensão de
porque relate vazão (m³/s) com volume (m³).
Passo 4
Determinar o volume subterrâneo correspondente a
:
- Pela mesma relação
, temos
- Substituindo os números:
Ou seja,
milhões de
.
Passo 5
Modelo para o enchimento do reservatório (e por que isso leva ao tempo pedido):
- Como não choveu em dezembro, não há recarga; se desviarmos a água do rio para encher o reservatório, o volume subterrâneo diminui porque a saída do aquífero alimenta o que é capturado. Se supormos que todo o fluxo que vinha do aquífero é recolhido para encher o reservatório (modelo de enchimento máximo a partir do escoamento), então a variação do estoque subterrâneo é dada por
- Usando
obtém-se a equação diferencial
que é a equação de decaimento exponencial. Vamos resolver essa equação para
.
Passo 6
Resolução da equação diferencial (passo-a-passo):
- Separando variáveis:
- Integrando de
(momento em que ) até tempo (com ):
- Logo
Passo 7
Volume capturado pelo reservatório em função do tempo:
- O volume retirado do aquífero e colocado no reservatório até o tempo
é a redução do estoque:
- Queremos o tempo
tal que . Então
Passo 8
Inserir valores e resolver para
:
- Substituindo
e :
- Dividindo ambos os lados por
:
- Então
- Tomando logaritmo natural:
Passo 9
Cálculo numérico final e conversão para dias:
- Calcule
. Então
- Converter segundos para dias:
, portanto
Arredondando com uma casa decimal:
dias.