Em um período de estiagem ocorrido no passado, a vazão de um rio era de 10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, quando o volume total de água armazenada subterraneamente era de 100 milhões de \mathrm{m}^{3}. A vazão deste mesmo rio, em janeiro de 1977 era de 20 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Sabendo-se que não choveu durante dezembro de 1976, determinar o tempo máximo de enchimento de um reservatório cuja capacidade é de 60 milhões de \mathrm{m}^{3}, desprezando as perdas por infiltração nas paredes e no fundo do reservatório.
(41,3 dias)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Vazão do rio em um período de estiagem: \,Q_1 = 10\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Volume total de água subterrânea correspondente nesse período de estiagem: \,S_1 = 100{,}000{,}000\\ \mathrm{m^3} (100 milhões de \mathrm{m^3}).
  • Vazão do mesmo rio em janeiro de 1977: \,Q_2 = 20\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Informação adicional: não choveu durante dezembro de 1976 (ou seja, não houve recarga nesse mês).
  • Capacidade do reservatório a encher: \,V_{\text{res}} = 60{,}000{,}000\\ \mathrm{m^3} (60 milhões de \mathrm{m^3}).
    O que o enunciado pede:
  • Determinar o tempo máximo de enchimento do reservatório, desprezando infiltrações nas paredes e no fundo.

Passo 2

Escolha de modelo e hipótese física (explicando como proceder):
  • Vamos assumir a relação linear mais simples entre vazão do rio e volume de água subterrânea: a vazão que sai do aquífero para o rio é proporcional ao volume armazenado no aquífero. Escrevemos isso como
Q = k\,S,
onde \,Q é a vazão do rio (em \mathrm{m^3/s}), \,S é o volume subterrâneo armazenado (em \mathrm{m^3}) e \,k é uma constante de proporcionalidade (em \mathrm{s^{-1}}).
Essa hipótese é comum em problemas simples de hidrologia quando se aproxima o escoamento base como proporcional ao estoque: é um modelo linear de descarga de um reservatório (ou aquífero).
  • Usamos os dados do período de estiagem para determinar \,k. Com \,Q_1=10 e \,S_1=100\times10^{6},
k=\frac{Q_1}{S_1}.

Passo 3

Cálculo de \,k:
k=\frac{10}{100\times10^{6}}=\frac{10}{100000000}=1\times10^{-7}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Comentário de unidade: \,k tem dimensão de \mathrm{s^{-1}} porque relate vazão (m³/s) com volume (m³).

Passo 4

Determinar o volume subterrâneo correspondente a \,Q_2=20\\ \mathrm{m^3/s}:
  • Pela mesma relação \,Q=kS, temos
S_2=\frac{Q_2}{k}.
  • Substituindo os números:
S_2=\frac{20}{1\times10^{-7}}=20\times10^{7}=200\times10^{6}\\ \mathrm{m^3}.
Ou seja, \,S_2=200 milhões de \mathrm{m^3}.

Passo 5

Modelo para o enchimento do reservatório (e por que isso leva ao tempo pedido):
  • Como não choveu em dezembro, não há recarga; se desviarmos a água do rio para encher o reservatório, o volume subterrâneo diminui porque a saída do aquífero alimenta o que é capturado. Se supormos que todo o fluxo que vinha do aquífero é recolhido para encher o reservatório (modelo de enchimento máximo a partir do escoamento), então a variação do estoque subterrâneo é dada por
\frac{dS}{dt}=-Q(t).
  • Usando Q(t)=kS(t) obtém-se a equação diferencial
\frac{dS}{dt}=-kS,
que é a equação de decaimento exponencial. Vamos resolver essa equação para S(t).

Passo 6

Resolução da equação diferencial (passo-a-passo):
  • Separando variáveis:
\frac{dS}{S}=-k\,dt.
  • Integrando de t=0 (momento em que S=S_2) até tempo t (com S=S(t)):
\int_{S_2}^{S(t)}\frac{dS}{S}=-k\int_{0}^{t}dt \quad\Rightarrow\quad \ln\!\bigg(\frac{S(t)}{S_2}\bigg)=-k t.
  • Logo
S(t)=S_2\,e^{-k t}.

Passo 7

Volume capturado pelo reservatório em função do tempo:
  • O volume retirado do aquífero e colocado no reservatório até o tempo t é a redução do estoque:
V_{\text{capt}}(t)=S_2-S(t)=S_2\bigl(1-e^{-k t}\bigr).
  • Queremos o tempo t tal que V_{\text{capt}}(t)=V_{\text{res}}=60\times10^{6}\\ \mathrm{m^3}. Então
S_2\bigl(1-e^{-k t}\bigr)=60\times10^{6}.

Passo 8

Inserir valores e resolver para t:
  • Substituindo S_2=200\times10^{6} e k=1\times10^{-7}:
200\times10^{6}\bigl(1-e^{-1\times10^{-7}\,t}\bigr)=60\times10^{6}.
  • Dividindo ambos os lados por 200\times10^{6}:
1-e^{-1\times10^{-7}\,t}= \frac{60}{200}=0{,}3.
  • Então
e^{-1\times10^{-7}\,t}=1-0{,}3=0{,}7.
  • Tomando logaritmo natural:
-1\times10^{-7}\,t=\ln(0{,}7)\quad\Rightarrow\quad t=-\frac{\ln(0{,}7)}{1\times10^{-7}}.

Passo 9

Cálculo numérico final e conversão para dias:
  • Calcule \ln(0{,}7)\approx -0{,}35667494. Então
t=\frac{0{,}35667494}{1\times10^{-7}}=3{,}5667494\times10^{6}\\ \mathrm{s}.
  • Converter segundos para dias: 1\\ \text{dia}=86400\\ \mathrm{s}, portanto
t=\frac{3{,}5667494\times10^{6}}{86400}\\ \text{dias}\approx 41{,}304\\ \text{dias}.
Arredondando com uma casa decimal: 41{,}3 dias.

Resposta

41,3\\ \text{dias}

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