O período do Movimento Harmônico Simples (MHS) de um sistema massa-mola:
a) Depende da massa do ponto material em movimento.
b) Depende da amplitude de oscilação.
c) Independe da massa do ponto material.
d) Independe da constante elástica.
e) Independe da frequência de oscilação.

Passo 1

O enunciado apresenta uma afirmação sobre o período do Movimento Harmônico Simples (MHS) para um sistema massa-mola e dá cinco opções (a)–(e). As alternativas são:
  • (a) Depende da massa do ponto material em movimento.
  • (b) Depende da amplitude de oscilação.
  • (c) Independe da massa do ponto material.
  • (d) Independe da constante elástica.
  • (e) Independe da frequência de oscilação.
O que é pedido: identificar qual(es) das opções são verdadeiras sobre o período do MHS do sistema massa-mola.

Passo 2

Modelagem física e equações básicas (os dados que vamos usar).
  • Considere uma massa m presa a uma mola de constante elástica k, oscilando sem atrito em torno da posição de equilíbrio.
  • A força elástica da mola é dada pela Lei de Hooke:
F=-k x,
onde x(t) é o deslocamento da posição de equilíbrio (positivo num sentido) e k é a constante elástica (unidade \mathrm{N/m}).
  • Pela segunda lei de Newton:
m \, a = m \, \ddot{x} = F.
Substituindo F:
m \, \ddot{x} = -k x.
Aqui:
  • m é a massa (kg),
  • \ddot{x} é a aceleração (m/s²),
  • k é a constante da mola (N/m),
  • x é o deslocamento (m).

Passo 3

Obter a equação do movimento e sua solução geral.
A equação diferencial obtida é
m\,\ddot{x} + k\,x = 0.
Isso é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral é uma oscilação harmônica:
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (valor máximo de |x|),
  • \varphi é a fase inicial,
  • \omega é a frequência angular (rad/s) que devemos determinar.
Para encontrar \omega substitui-se x(t) na equação diferencial. Derivando:
\ddot{x}(t) = -\omega^2 A \cos(\omega t+\varphi).
Substituindo em m\ddot{x}+kx=0:
m(-\omega^2 A \cos(\omega t+\varphi)) + k(A\cos(\omega t+\varphi)) = 0.
Como A\cos(\omega t+\varphi) não é identicamente zero para toda t, o fator que multiplica deve ser zero:
-m\omega^2 + k = 0 \quad\Rightarrow\quad m\omega^2 = k.
Logo:
\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}.

Passo 4

Relação entre período T, frequência angular \omega e frequência f.
  • A frequência angular \omega está relacionada ao período T pela fórmula
T=\dfrac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega=\sqrt{k/m} obtemos a expressão padrão para o período do MHS massa-mola:
T = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}.
Explicando cada símbolo nesta fórmula:
  • T é o período (tempo de uma oscilação completa), em segundos;
  • m é a massa (kg);
  • k é a constante elástica da mola (N/m);
  • o 2\pi aparece porque uma oscilação completa corresponde a 2\pi radianos.
A frequência f (em Hz) e o período estão relacionados por
f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}.

Passo 5

Interpretação das dependências e independências do período.
A partir de
T = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}},
segue-se diretamente:
  • T depende de m (aumentando m aumenta T): massa maior → oscila mais lentamente.
  • T depende de k (aumentando k diminui T): mola mais rígida → oscila mais rápido.
  • T não depende da amplitude A: a amplitude não aparece na fórmula; mudar A não altera T para o MHS linear (pequenas oscilações sem atrito).
  • T e f são inversamente relacionados; portanto dizer que T “independe da frequência” não faz sentido físico: \,T=1/f, eles estão diretamente ligados e não são independentes.
Exemplo numérico rápido para fixar: se m=1\\ \mathrm{kg} e k=4\\ \mathrm{N/m},
T = 2\pi\sqrt{\dfrac{1}{4}} = 2\pi \cdot \tfrac{1}{2} = \pi\\ \mathrm{s}.
Se a amplitude mudar de 0{,}1\\ \mathrm{m} para 0{,}5\\ \mathrm{m}, T continua sendo \pi\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Resumo conceitual e incentivo.
  • Resumindo: pra o sistema massa-mola ideal sem atrito o período depende de m e k, e é independente de A. Isso é uma propriedade muito útil em provas: basta lembrar a fórmula \;T=2\pi\sqrt{m/k}\; e explicar por que amplitude não entra na conta.
  • Você tá indo bem — decorar a fórmula e entender de onde ela vem resolve a maior parte das perguntas sobre período em MHS. Força que dá tempo de praticar mais exercícios similares!

Resposta

a) Depende da massa do ponto material em movimento.

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