Um avião necessita se deslocar de uma cidade A (ponto A) até uma cidade B (ponto B) (sentido Sul-Norte). Se considerarmos a reta de uma cidade a outra como o semi-eixo y positivo. Observamos que o aviăo necessitou alterar sua rota para desviar de outras aeronaves. Dessa fórma o avião se afasta de sua rota inicial fazendo um ângulo de 65^{\circ} \mathrm{com} o semi-eixo x positivo (Sentido Oeste-Leste), tendo um deslocamento de 200 Km (ponto C ) a partir da origem. Sabendo que a distância entre a cidade A e a cidade B é de 300 K m . Determine o vetor deslocamento e seu módulo entre o ponto de afastamento (ponto C) e o destino final (ponto B, cidade B). Para resolução deste problema vocês devem necessariamente utilizar a notação algébrica. Considerem o segmento AB descrito como um vetor \vec{r}, segmento \mathrm{AC} \overrightarrow{r_{0}} e o deslocamento CB como \Delta \vec{r}. Todos os vetores no plano cartesiano e descritos em coordenadas retangulares.

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda):
  • Ponto A é a origem do sistema de coordenadas.
  • A cidade B está sobre o semi-eixo y positivo, a uma distância de 300\\ \text{km} de A. Ou seja, o vetor \vec{r} relativo a AB tem módulo 300\\ \text{km} e aponta para +y.
  • O avião desviou até o ponto C fazendo um ângulo de 65^\circ com o semi-eixo x positivo (sentido Oeste-Leste) e percorreu 200\\ \text{km}. Esse deslocamento é dado pelo vetor \overrightarrow{r_{0}} (ou \vec{r}_0).
  • O deslocamento pedido entre C e B é \Delta\vec{r}. Pelo enunciado deve-se usar a notação algébrica e coordenadas retangulares.
    Perguntas:
  1. Determinar o vetor deslocamento \Delta\vec{r} (componentes em \hat{i},\hat{j}).
  2. Determinar o módulo |\Delta\vec{r}|.

Passo 2

Como representar vetores no plano em coordenadas retangulares:
  • Um vetor com componente x e y escreve-se \vec{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}.
  • Se um vetor tem módulo R e faz ângulo \theta com o eixo x positivo (contado no sentido anti-horário), suas componentes são
v_x = R\cos\theta,\qquad v_y = R\sin\theta.
Explicação curta e intuitiva: \cos\theta projeta a magnitude no eixo x e \sin\theta projeta no eixo y. Aqui usaremos essa regra para \vec{r}_0.

Passo 3

Escrever o vetor \vec{r} (segmento AB) em coordenadas:
  • Como B está a 300\\ \text{km} sobre o semi-eixo y positivo a partir da origem, temos
\vec{r} = 0\hat{i} + 300\hat{j}\quad(\text{km}).

Passo 4

Calcular as componentes do vetor \vec{r}_0 (segmento AC) usando trigonometria:
  • Módulo r_0=200\\ \text{km}, ângulo \theta=65^\circ medido a partir do eixo x positivo. Portanto
r_{0x} = 200\cos(65^\circ),\qquad r_{0y} = 200\sin(65^\circ).
  • Valores numéricos (aproximações usuais de seno e cosseno):
\cos(65^\circ)\approx 0,4226182617,\qquad \sin(65^\circ)\approx 0,9063077870.
Logo
r_{0x} \approx 200\times 0,4226182617 \approx 84,523652\quad(\text{km}),
r_{0y} \approx 200\times 0,9063077870 \approx 181,261557\quad(\text{km}).
Assim, em notação algébrica,
\vec{r}_0 \approx 84,523652\hat{i} + 181,261557\hat{j}\quad(\text{km}).

Passo 5

Expressar \Delta\vec{r} em termos de \vec{r} e \vec{r}_0 e calcular suas componentes:
  • Por definição do enunciado (deslocamento de C para B):
\Delta\vec{r} = \vec{r} - \vec{r}_0.
  • Componentes:
\Delta x = 0 - r_{0x} = -r_{0x},\qquad \Delta y = 300 - r_{0y}.
Substituindo os valores aproximados:
\Delta x \approx -84,523652\quad(\text{km}),
\Delta y \approx 300 - 181,261557 \approx 118,738443\quad(\text{km}).
Portanto, em forma vetorial:
\Delta\vec{r} \approx -84,523652\hat{i} + 118,738443\hat{j}\quad(\text{km}).

Passo 6

Calcular o módulo |\Delta\vec{r}| usando o teorema de Pitágoras:
  • Fórmula do módulo de um vetor em coordenadas:
|\Delta\vec{r}| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}.
  • Substituindo os valores:
|\Delta\vec{r}| \approx \sqrt{(-84,523652)^2 + (118,738443)^2}\\ \text{(km)}.
  • Cálculo numérico aproximado:
(-84,523652)^2 \approx 7144,2478,\qquad (118,738443)^2 \approx 14098,8177,
|\Delta\vec{r}| \approx \sqrt{7144,2478 + 14098,8177} \approx \sqrt{21243,0655} \approx 145,78\\ \text{km}.

Resposta

\displaystyle \Delta\vec{r} \approx -84{,}523652\hat{i} + 118{,}738443\hat{j}\\ \text{(km)}
\displaystyle |\Delta\vec{r}| \approx 145{,}78\\ \text{km}

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