Um avião necessita se deslocar de uma cidade A (ponto A) até uma cidade B (ponto B) (sentido Sul-Norte). Se considerarmos a reta de uma cidade a outra como o semi-eixo y positivo. Observamos que o aviăo necessitou alterar sua rota para desviar de outras aeronaves. Dessa fórma o avião se afasta de sua rota inicial fazendo um ângulo de
o semi-eixo x positivo (Sentido Oeste-Leste), tendo um deslocamento de 200 Km (ponto C ) a partir da origem. Sabendo que a distância entre a cidade A e a cidade B é de 300 K m . Determine o vetor deslocamento e seu módulo entre o ponto de afastamento (ponto C) e o destino final (ponto B, cidade B). Para resolução deste problema vocês devem necessariamente utilizar a notação algébrica. Considerem o segmento AB descrito como um vetor
, segmento
e o deslocamento CB como
. Todos os vetores no plano cartesiano e descritos em coordenadas retangulares.
Passo 1
Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda):
- Ponto
é a origem do sistema de coordenadas. - A cidade
está sobre o semi-eixo positivo, a uma distância de de . Ou seja, o vetor relativo a tem módulo e aponta para . - O avião desviou até o ponto
fazendo um ângulo de com o semi-eixo positivo (sentido Oeste-Leste) e percorreu . Esse deslocamento é dado pelo vetor (ou ). - O deslocamento pedido entre
e é . Pelo enunciado deve-se usar a notação algébrica e coordenadas retangulares.
Perguntas:
- Determinar o vetor deslocamento
(componentes em ). - Determinar o módulo
.
Passo 2
Como representar vetores no plano em coordenadas retangulares:
- Um vetor com componente
e escreve-se . - Se um vetor tem módulo
e faz ângulo com o eixo positivo (contado no sentido anti-horário), suas componentes são
Explicação curta e intuitiva:
projeta a magnitude no eixo
e
projeta no eixo
. Aqui usaremos essa regra para
.
Passo 3
Escrever o vetor
(segmento
) em coordenadas:
- Como
está a sobre o semi-eixo positivo a partir da origem, temos
Passo 4
Calcular as componentes do vetor
(segmento
) usando trigonometria:
- Módulo
, ângulo medido a partir do eixo positivo. Portanto
- Valores numéricos (aproximações usuais de seno e cosseno):
Logo
Assim, em notação algébrica,
Passo 5
Expressar
em termos de
e
e calcular suas componentes:
- Por definição do enunciado (deslocamento de
para ):
- Componentes:
Substituindo os valores aproximados:
Portanto, em forma vetorial:
Passo 6
Calcular o módulo
usando o teorema de Pitágoras:
- Fórmula do módulo de um vetor em coordenadas:
- Substituindo os valores:
- Cálculo numérico aproximado: