Perto dos aposentos de Margaret, há uma torre de água de 24 m que atrai muitos pássaros durante os meses de verão. Durante um período quente no ano passado, a torre ficou seca. Solitária sem os pássaros visitando, Margaret decidiu carregar um pouco de água até a torre para atraí-los de volta. Seu balde tem uma massa de 9 kg e comporta 37 kg de água quando está cheio. No entanto, o balde tinha um buraco, e quando Margaret subia a uma velocidade constante, a água vazou a uma taxa constante. Vários pássaros levaram vantagem do chuveiro abaixo, mas quando ela chegou no topo, restavam apenas 3 kg de água para o banho dos pássaros. Encontre o trabalho feito por Margaret sobre o balde. (Considere \left.\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \bigcirc a. 6820,80 \mathrm{~J} \bigcirc b. 2822,40 \mathrm{~J} \bigcirc c. 8184,96 \mathrm{~J} \bigcirc d. 5456,64 J \bigcirc e. 4704,00 \mathrm{~J}
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o trabalho feito por Margaret ao subir uma torre de água de \,24\\ \mathrm{m}\, carregando um balde que tem massa própria e contém água que vaza durante a subida. Informações dadas (lista simples e clara):
\begin{aligned} &\text{altura da subida: } H=24\\ \mathrm{m},\\\ &\text{massa do balde vazio: } m_{\text{balde}}=9\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{massa inicial da água (no início): } m_{\text{água,0}}=37\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{massa final da água (no topo): } m_{\text{água,final}}=3\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{o vazamento ocorre a taxa constante enquanto ela sobe a velocidade constante,}\\\ &\text{aceleração da gravidade: } g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.\\\ \end{aligned}
O que se pede: encontrar o trabalho total realizado por Margaret sobre o conjunto (balde + água) ao subir de 0 a H.
Passo 2
Ideia física e justificativa do método (explicação didática): quando Margaret sobe com velocidade constante, a aceleração é nula, logo a força que ela aplica para subir em cada instante é igual ao peso do sistema naquele instante. Trabalho é a integral da força aplicada ao longo do deslocamento. Como a massa da água varia linearmente (vazamento a taxa constante e velocidade de subida constante), o peso total é função linear da posição. Portanto o trabalho é
\,F(y)\, é a força que Margaret aplica no instante em que o balde está na altura \,y\in[0,H]\,.
\,m_{\text{água}}(y)\, é a massa de água restante quando o balde está na altura \,y\,.
Multiplicamos por g porque peso = m g.
Passo 3
Encontrar a expressão de \,m_{\text{água}}(y)\, como função de \,y\,:
a massa da água varia linearmente de \,37\\ \mathrm{kg}\, em y=0 até \,3\\ \mathrm{kg}\, em y=24\\ \mathrm{m}. A forma geral da interpolação linear é
Verificação alternativa (curtinha, para confirmar o resultado): como a massa da água varia linearmente, a contribuição média da água é simplesmente a média aritmética das massas inicial e final:
Trabalho da água = g\cdot \overline{m_{\text{água}}}\cdot H = 9{,}8\cdot 20\cdot 24 = 4704\\ \mathrm{J}.á
Trabalho do balde = g\cdot m_{\text{balde}}\cdot H = 9{,}8\cdot 9\cdot 24 = 2116{,}8\\ \mathrm{J}.
Somando: 4704 + 2116{,}8 = 6820{,}8\\ \mathrm{J}, que confere com o cálculo integral.