Perto dos aposentos de Margaret, há uma torre de água de 24 m que atrai muitos pássaros durante os meses de verão. Durante um período quente no ano passado, a torre ficou seca. Solitária sem os pássaros visitando, Margaret decidiu carregar um pouco de água até a torre para atraí-los de volta. Seu balde tem uma massa de 9 kg e comporta 37 kg de água quando está cheio. No entanto, o balde tinha um buraco, e quando Margaret subia a uma velocidade constante, a água vazou a uma taxa constante. Vários pássaros levaram vantagem do chuveiro abaixo, mas quando ela chegou no topo, restavam apenas 3 kg de água para o banho dos pássaros. Encontre o trabalho feito por Margaret sobre o balde. (Considere \left.\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right)
\bigcirc a. 6820,80 \mathrm{~J}
\bigcirc b. 2822,40 \mathrm{~J}
\bigcirc c. 8184,96 \mathrm{~J}
\bigcirc d. 5456,64 J
\bigcirc e. 4704,00 \mathrm{~J}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o trabalho feito por Margaret ao subir uma torre de água de \,24\\ \mathrm{m}\, carregando um balde que tem massa própria e contém água que vaza durante a subida. Informações dadas (lista simples e clara):
\begin{aligned} &\text{altura da subida: } H=24\\ \mathrm{m},\\\ &\text{massa do balde vazio: } m_{\text{balde}}=9\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{massa inicial da água (no início): } m_{\text{água,0}}=37\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{massa final da água (no topo): } m_{\text{água,final}}=3\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{o vazamento ocorre a taxa constante enquanto ela sobe a velocidade constante,}\\\ &\text{aceleração da gravidade: } g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.\\\ \end{aligned}áíáááçã
O que se pede: encontrar o trabalho total realizado por Margaret sobre o conjunto (balde + água) ao subir de 0 a H.

Passo 2

Ideia física e justificativa do método (explicação didática): quando Margaret sobe com velocidade constante, a aceleração é nula, logo a força que ela aplica para subir em cada instante é igual ao peso do sistema naquele instante. Trabalho é a integral da força aplicada ao longo do deslocamento. Como a massa da água varia linearmente (vazamento a taxa constante e velocidade de subida constante), o peso total é função linear da posição. Portanto o trabalho é
W=\int_{0}^{H} F(y)\,dy = \int_{0}^{H} g\bigl(m_{\text{balde}} + m_{\text{água}}(y)\bigr)\,dy.á
Explicando cada termo:
  • \,F(y)\, é a força que Margaret aplica no instante em que o balde está na altura \,y\in[0,H]\,.
  • \,m_{\text{água}}(y)\,á é a massa de água restante quando o balde está na altura \,y\,.
  • Multiplicamos por g porque peso = m g.

Passo 3

Encontrar a expressão de \,m_{\text{água}}(y)\,á como função de \,y\,:
a massa da água varia linearmente de \,37\\ \mathrm{kg}\, em y=0 até \,3\\ \mathrm{kg}\, em y=24\\ \mathrm{m}. A forma geral da interpolação linear é
m_{\text{água}}(y)=m_{\text{água,0}}+\frac{m_{\text{água,final}}-m_{\text{água,0}}}{H}\,y.áááá
Substituindo os números:
m_{\text{água}}(y)=37+\frac{3-37}{24}\,y=37-\frac{34}{24}\,y=37-\frac{17}{12}\,y.á

Passo 4

Escrever a integral do trabalho com a expressão acima:
W=\int_{0}^{24} g\bigl( m_{\text{balde}} + m_{\text{água}}(y)\bigr)\,dy = g\int_{0}^{24}\Bigl(9 + 37 - \frac{17}{12}y\Bigr)\,dy.á
Simplificando dentro da integral:
W = g\int_{0}^{24}\Bigl(46 - \frac{17}{12}y\Bigr)\,dy.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo (mostrando as contas):
\int_{0}^{24}\Bigl(46 - \frac{17}{12}y\Bigr)\,dy = \Bigl[46y - \frac{17}{12}\cdot\frac{y^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{24} = 46\cdot24 - \frac{17}{24}\cdot 24^{2}.
Agora avaliar numericamente:
46\cdot24 = 1104,
\frac{17}{24}\cdot 24^{2} = \frac{17}{24}\cdot 576 = 17\cdot 24 = 408.
Portanto a integral vale
1104 - 408 = 696\quad\text{(unidade: kg}\cdot\mathrm{m}\text{)}.

Passo 6

Multiplicar pelo fator g para obter o trabalho:
W = g\cdot 696 = 9{,}8 \times 696.
Fazendo a multiplicação:
696\times 9{,}8 = 696\times(10-0{,}2)=6960 - 139{,}2 = 6820{,}8\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Verificação alternativa (curtinha, para confirmar o resultado): como a massa da água varia linearmente, a contribuição média da água é simplesmente a média aritmética das massas inicial e final:
\overline{m_{\text{água}}}=\frac{37+3}{2}=20\\ \mathrm{kg}.á
Trabalho da água = g\cdot \overline{m_{\text{água}}}\cdot H = 9{,}8\cdot 20\cdot 24 = 4704\\ \mathrm{J}.á
Trabalho do balde = g\cdot m_{\text{balde}}\cdot H = 9{,}8\cdot 9\cdot 24 = 2116{,}8\\ \mathrm{J}.
Somando: 4704 + 2116{,}8 = 6820{,}8\\ \mathrm{J}, que confere com o cálculo integral.

Resposta

a. 6820{,}80\\ \mathrm{J}

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