E 8.6 Um pescador, com massa de 70 kg , está em uma extremidade de uma canoa de 50 kg , ambos inicialmente em repouso. O pescador se move 2 m , em relação às margens, rumo à outra extremidade da canoa, pára, e então resolve pular na água. Sua velocidade foi de 4,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação à canoa. (A) Qual foi o deslocamento da canoa devido ao movimento inicial do pescador? ( B ) Quando o pescador pulou, qual foi sua velocidade no referencial da água?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados numéricos fornecidos:
    • massa do pescador: m=70\\ \text{kg}.
    • massa da canoa: M=50\\ \text{kg}.
    • o pescador desloca-se 2\\ \text{m} (o enunciado diz “se move 2\\ \text{m} em relação às margens”) rumo à outra extremidade da canoa e depois para.
    • ao pular, a velocidade do pescador em relação à canoa é 4,5\\ \text{m/s}.
  • Perguntas:
    • (A) Qual foi o deslocamento da canoa devido ao movimento inicial do pescador?
    • (B) Quando o pescador pulou, qual foi sua velocidade no referencial da água?

Passo 2

Interpretação e escolha do método (explicando por que).
O enunciado tem uma leitura ambígua sobre “ 2\\ \text{m}”: pode significar “ 2\\ \text{m} em relação à canoa” ou “ 2\\ \text{m} em relação à margem (terra)”. Em problemas clássicos desse tipo o número costuma ser o deslocamento do pescador relativo à canoa (ou seja: ele anda 2\\ \text{m} ao longo da canoa). Vou seguir essa interpretação porque ela leva ao resultado físico padrão (deslocamento da canoa é menor que 2\\ \text{m}) e é a interpretação usada em exercícios semelhantes; se o enunciado realmente quisesse “em relação à margem” o procedimento é análogo e eu poderia mostrar depois.
Métodos escolhidos:
  • Para (A) usar conservação da posição do centro de massa do sistema canoa+pescador (não há força horizontal externa relevante), o que relaciona os deslocamentos absolutos.
  • Para (B) usar conservação do momento linear (momento total inicial é zero) no instante do salto, junto com a relação da velocidade relativa dada ( v_{\text{rel}}=4,5\\ \text{m/s}).
Vou agora aplicar as ideias passo a passo.

Passo 3

Resolvendo (A): relação entre deslocamentos usando centro de massa.
Conceito (explicado de forma simples): se não há força externa horizontal relevante, o centro de massa (CM) do sistema não se desloca. Se o pescador se desloca uma distância relativa à canoa, então as posições absolutas do pescador e da canoa mudam, mas a média ponderada por massas fica fixa.
Definir sinais e deslocamentos:
  • Seja \Delta x_{\text{canoa}} o deslocamento da canoa (positivo para a direita).
  • Se o pescador anda 2\\ \text{m} para a direita em relação à canoa, a posição absoluta do pescador muda em relação à margem conforme \Delta x_{\text{pescador}}=\Delta x_{\text{canoa}}+2.(porque o movimento absoluto do pescador é a soma do movimento da canoa mais o movimento relativo dele sobre a canoa).
Conservação da posição do CM (inicial CM em repouso e sem deslocamento final do CM):
m\,\Delta x_{\text{pescador}}+M\,\Delta x_{\text{canoa}}=0.
Substituindo \Delta x_{\text{pescador}}=\Delta x_{\text{canoa}}+2:
m(\Delta x_{\text{canoa}}+2)+M\Delta x_{\text{canoa}}=0.
Agrupando termos:
(m+M)\Delta x_{\text{canoa}}+2m=0.
Logo
\Delta x_{\text{canoa}}=-\frac{2m}{m+M}.
Agora substituo os valores m=70\\ \text{kg} e M=50\\ \text{kg}:
\Delta x_{\text{canoa}}=-\frac{2\cdot 70}{70+50}=-\frac{140}{120}=-\frac{7}{6}\\ \text{m}.
Interpretação do sinal: o sinal negativo indica que a canoa deslocou-se na direção oposta ao movimento do pescador. Em módulo a canoa deslocou-se \dfrac{7}{6}\\ \text{m}\approx 1,166\ldots\\ \text{m}.

Passo 4

Resolvendo (B): velocidade do pescador na água ao pular.
Situação no instante do salto (segundo a interpretação adotada):
  • Depois que o pescador andou e “parou” em relação à canoa, ambos (pescador + canoa) estão em repouso no referencial da água (isto ocorre porque, quando ele parou em relação à canoa, o momento total do sistema continua zero e, estando com mesma velocidade, essa velocidade comum deve ser zero).
  • Ao pular, o pescador adquire velocidade relativa à canoa dada por \,v_{\text{rel}}=4,5\\ \text{m/s}. Queremos a sua velocidade absoluta v_{\text{pescador}} no referencial da água após o salto.
  • Denotar v_c a velocidade da canoa após o salto (referencial da água) e v_f a velocidade do pescador na água. A relação de velocidade relativa é: v_f - v_c = 4,5.
Conservação do momento linear (momento total inicial antes do salto é zero, portanto soma dos momentos após o salto também é zero):
m v_f + M v_c = 0.
Usar v_f = v_c + 4,5 na equação do momento:
m(v_c+4,5)+M v_c=0.
(m+M)v_c + 4,5m=0.
v_c=-\frac{4,5\,m}{m+M}.
Substituindo m=70 e M=50:
v_c=-\frac{4,5\cdot 70}{70+50}=-\frac{315}{120}=-\frac{21}{8}\\ \text{m/s}=-2,625\\ \text{m/s}.
Agora v_f=v_c+4,5:
v_f=4,5-\frac{4,5\,m}{m+M}=4,5\left(1-\frac{m}{m+M}\right)=4,5\frac{M}{m+M}.
Substituindo números:
v_f=4,5\cdot\frac{50}{120}=4,5\cdot\frac{5}{12}=\frac{45}{24}=\frac{15}{8}\\ \text{m/s}=1,875\\ \text{m/s}.
Interpretação: o pescador, no referencial da água, sai com velocidade \dfrac{15}{8}\\ \text{m/s} (aproximadamente 1,875\\ \text{m/s}) na direção do salto; a canoa recebe um recuo na direção oposta com velocidade -2,625\\ \text{m/s}.

Resposta

\Delta x_{\text{canoa}}=-\dfrac{7}{6}\\ \text{m}
v_{\text{pescador, água}}=\dfrac{15}{8}\\ \text{m/s}=1,875\\ \text{m/s}á

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