Um sistema de transmissão por correia possui os seguintes dados: diâmetro da polia motora ( 200 mm ), diâmetro da polia movida ( 400 mm ), distância entre centros das polias: 1,2 \mathrm{~m}; coeficiente de atrito correia/polia de \mu=0,30, força no lado frouxo da correia de \mathrm{F}=300 \mathrm{~N}. Determine: o ângulo de contato da polia menor; a força do lado trativo; a força tangencial; a deflexão pelos dois métodos; o comprimento da correia.

Passo 1

Listar os dados fornecidos e o que o enunciado pede.
Dados (peguei todos do enunciado):
  • diâmetro da polia motora (menor): D_1 = 200\\ \mathrm{mm}.
  • diâmetro da polia movida (maior): D_2 = 400\\ \mathrm{mm}.
  • distância entre centros: C = 1{,}2\\ \mathrm{m}.
  • coeficiente de atrito correia/polia: \mu = 0{,}30.
  • força no lado frouxo (tensão frouxa): F_s = 300\\ \mathrm{N}.
O que é pedido:
  1. o ângulo de contato da polia menor;
  2. a força do lado trativo (tensão do lado frouxo → lado trativo, às vezes chamada tensão apertada);
  3. a força tangencial transmitida pela correia;
  4. a deflexão pelos dois métodos (vou explicar o que interpretei por “deflexão” e por que escolhi esses dois métodos);
  5. o comprimento da correia.
Observação sobre interpretação do termo “deflexão”: aqui vou interpretar “deflexão” como o ângulo de deflexão entre as duas tangentes da correia sobre a polia menor (isto é, o ângulo que o fio muda de direção ao passar pela polia) — esse ângulo é comumente chamado de ângulo de deflexão e vale 2\varphi, sendo \varphi a meia diferença angular geométrica entre as tangentes. Os “dois métodos” serão: (A) método exato com \varphi = \arcsin\!\big(\dfrac{R_2-R_1}{C}\big) e (B) aproximação para pequeno \varphi usando \varphi \approx \dfrac{R_2-R_1}{C}. Vou justificar e mostrar ambos os cálculos.

Passo 2

Converter diâmetros em raios e escrever as fórmulas geométricas básicas (explicando cada símbolo).
  • R_1 = raio da polia menor, R_2 = raio da polia maior. Como D_1 = 200\\ \mathrm{mm} e D_2 = 400\\ \mathrm{mm},
R_1 = \frac{D_1}{2} = \frac{200\\ \mathrm{mm}}{2} = 100\\ \mathrm{mm}=0{,}10\\ \mathrm{m}, \qquad R_2 = \frac{D_2}{2} = \frac{400\\ \mathrm{mm}}{2} = 200\\ \mathrm{mm}=0{,}20\\ \mathrm{m}.
Geometria do contato (correia aberta): para duas polias com centros a distância C e raios diferentes, a meia diferença angular \varphi entre as tangentes satisfaz
\varphi = \arcsin\!\left(\frac{R_2-R_1}{C}\right).
Explicação rápida: a linha que liga os pontos de tangência forma um triângulo retângulo com cateto R_2-R_1 e hipotenusa C; o ângulo entre a linha de centros e a reta tangente é justamente \varphi. Em seguida, os ângulos de contato (wrap angles) são
\theta_1 = \pi - 2\varphi \quad\text{(polia menor)}, \qquad \theta_2 = \pi + 2\varphi \quad\text{(polia maior)},
porque \theta_1+\theta_2 = 2\pi e a diferença entre eles é 4\varphi.
Calcular \varphi numericamente:
\frac{R_2-R_1}{C} = \frac{0{,}20-0{,}10}{1{,}2}=\frac{0{,}10}{1{,}2}=0{,}083333\ldots
\varphi = \arcsin(0{,}083333\ldots)\approx 0{,}08343\\ \text{rad}.
Logo
\theta_1 = \pi - 2\varphi \approx 3{,}14159265 - 2(0{,}08343)=2{,}97473\\ \text{rad}.
(Em graus: \theta_1\approx 170{,}45^\circ.)

Passo 3

Calcular a tensão do lado trativo (tensão apertada) usando a fórmula do atrito (fórmula de Euler-Capstan) e explicar a física por trás.
Fórmula de atrito para correias/cordas em torno de um tambor/polia:
\frac{T_{\text{apertada}}}{T_{\text{frouxa}}} = e^{\mu\,\theta},
onde
  • T_{\text{apertada}} é a tensão no lado trativo (tensão maior),
  • T_{\text{frouxa}} é a tensão no lado frouxo (dada =F_s),
  • \mu é o coeficiente de atrito correia/polia,
  • \theta é o ângulo de contato (em radianos) sobre a polia onde o escorregamento tende a ocorrer.
Explicação: essa equação expressa o equilíbrio de forças infinitesimais ao longo do arco de contato — a razão entre as tensões cresce exponencialmente com o produto \mu\theta. No caso em que a polia motora é a menor, o menor ângulo de contato é crítico para o limite de tensão transmissível, portanto usamos \theta_1 (o menor wrap).
Aplicando números:
T_{\text{frouxa}} = F_s = 300\\ \mathrm{N},\qquad \mu = 0{,}30,\qquad \theta = \theta_1 \approx 2{,}97473\\ \text{rad}.
T_{\text{apertada}} = T_{\text{frouxa}}\; e^{\mu\theta_1} = 300\; e^{0{,}30\cdot 2{,}97473}.
Calcular o expoente:
\mu\theta_1 \approx 0{,}30\times 2{,}97473 \approx 0{,}89242.
e^{0{,}89242}\approx 2{,}441.
Portanto
T_{\text{apertada}} \approx 300\times 2{,}441 \approx 732{,}3\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Calcular a força tangencial transmitida pela correia (força útil na periferia da polia).
A força tangencial F_t é a diferença entre a tensão do lado apertado e a tensão do lado frouxo:
F_t = T_{\text{apertada}} - T_{\text{frouxa}}.
Substituindo os valores:
F_t \approx 732{,}3\\ \mathrm{N} - 300\\ \mathrm{N} = 432{,}3\\ \mathrm{N}.
Comentário físico: essa F_t é a força que age tangencialmente sobre a polia motora e é responsável pelo torque transmitido e pela potência entregue ao eixo movido.

Passo 5

Calcular a “deflexão” pelos dois métodos (interpretação: ângulo de deflexão =2\varphi). Mostrar os dois métodos e justificar.
Método A — método exato (geométrico):
  • já calculamos \varphi = \arcsin\!\big(\dfrac{R_2-R_1}{C}\big)\approx 0{,}08343\\ \text{rad}.
  • logo a deflexão exata (ângulo pelo qual a correia muda de direção na polia) é
\delta_{\text{exato}} = 2\varphi \approx 2\times 0{,}08343 = 0{,}16686\\ \text{rad}.
(Em graus: \delta_{\text{exato}}\approx 9{,}55^\circ.)
Método B — aproximação para pequeno \varphi:
  • para pequenos argumentos \arcsin x \approx x, portanto \varphi \approx \dfrac{R_2-R_1}{C}.
  • assim a deflexão aproximada é
\delta_{\text{aprox}} \approx 2\cdot\frac{R_2-R_1}{C}=2\cdot\frac{0{,}10}{1{,}2}=0{,}16667\\ \text{rad}.
Comparação: os dois resultados são muito próximos, a aproximação é muito boa porque \dfrac{R_2-R_1}{C} é pequeno.

Passo 6

Calcular o comprimento da correia. Vou usar a expressão exata (em termos de \varphi e de uma raiz quadrada geométrica) e mostrar a simplificação numérica.
Fórmula exata para correia aberta (comprimento total):
L = R_1\theta_1 + R_2\theta_2 + 2\sqrt{C^2-(R_2-R_1)^2},
onde \theta_1 = \pi - 2\varphi e \theta_2 = \pi + 2\varphi. Explicação rápida: o comprimento é soma dos arcos de contato ( R_1\theta_1 e R_2\theta_2) mais as duas partes retas (cada uma com comprimento \sqrt{C^2-(R_2-R_1)^2}).
Substituir valores:
  • já temos \theta_1\approx 2{,}97473\\ \text{rad}, \theta_2\approx 3{,}30845\\ \text{rad}.
  • \sqrt{C^2-(R_2-R_1)^2} = \sqrt{1{,}2^2 - 0{,}10^2} = \sqrt{1{,}44 - 0{,}01} = \sqrt{1{,}43}\approx 1{,}19583\\ \mathrm{m}.
Calcular os arcos:
R_1\theta_1 = 0{,}10\times 2{,}97473 \approx 0{,}29747\\ \mathrm{m}, \qquad R_2\theta_2 = 0{,}20\times 3{,}30845 \approx 0{,}66169\\ \mathrm{m}.
Somando:
L \approx 0{,}29747 + 0{,}66169 + 2(1{,}19583) = 0{,}95916 + 2{,}39166 = 3{,}35082\\ \mathrm{m}.
Observação: a forma aproximada frequentemente usada é
L \approx \pi(R_1+R_2) + 2C + \frac{(R_2-R_1)^2}{C},
que, ao aplicar os números, dá um valor praticamente idêntico (por ser uma aproximação válida quando C é relativamente grande frente à diferença de raios).

Resposta

Ângulo de contato da polia menor: \theta_1 \approx 2{,}97473\\ \text{rad} (\approx 170{,}45^\circ)\n
Força do lado trativo (tensão apertada): T_{\text{apertada}} \approx 732{,}3\\ \mathrm{N}\n
Força tangencial transmitida: F_t \approx 432{,}3\\ \mathrm{N}\n
Deflexão (ângulo) — método exato: \delta_{\text{exato}} \approx 0{,}16686\\ \text{rad} ; método aproximado: \delta_{\text{aprox}} \approx 0{,}16667\\ \text{rad}\n
Comprimento da correia: L \approx 3{,}35082\\ \mathrm{m}

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