Um sistema de transmissão por correia possui os seguintes dados: diâmetro da polia motora ( 200 mm ), diâmetro da polia movida ( 400 mm ), distância entre centros das polias:
; coeficiente de atrito correia/polia de
, força no lado frouxo da correia de
. Determine: o ângulo de contato da polia menor; a força do lado trativo; a força tangencial; a deflexão pelos dois métodos; o comprimento da correia.
Passo 1
Listar os dados fornecidos e o que o enunciado pede.
Dados (peguei todos do enunciado):
- diâmetro da polia motora (menor):
. - diâmetro da polia movida (maior):
. - distância entre centros:
. - coeficiente de atrito correia/polia:
. - força no lado frouxo (tensão frouxa):
.
O que é pedido:
- o ângulo de contato da polia menor;
- a força do lado trativo (tensão do lado frouxo → lado trativo, às vezes chamada tensão apertada);
- a força tangencial transmitida pela correia;
- a deflexão pelos dois métodos (vou explicar o que interpretei por “deflexão” e por que escolhi esses dois métodos);
- o comprimento da correia.
Observação sobre interpretação do termo “deflexão”: aqui vou interpretar “deflexão” como o ângulo de deflexão entre as duas tangentes da correia sobre a polia menor (isto é, o ângulo que o fio muda de direção ao passar pela polia) — esse ângulo é comumente chamado de ângulo de deflexão e vale
, sendo
a meia diferença angular geométrica entre as tangentes. Os “dois métodos” serão: (A) método exato com
e (B) aproximação para pequeno
usando
. Vou justificar e mostrar ambos os cálculos.
Passo 2
Converter diâmetros em raios e escrever as fórmulas geométricas básicas (explicando cada símbolo).
-
= raio da polia menor, = raio da polia maior. Como e ,
Geometria do contato (correia aberta): para duas polias com centros a distância
e raios diferentes, a meia diferença angular
entre as tangentes satisfaz
Explicação rápida: a linha que liga os pontos de tangência forma um triângulo retângulo com cateto
e hipotenusa
; o ângulo entre a linha de centros e a reta tangente é justamente
. Em seguida, os ângulos de contato (wrap angles) são
porque
e a diferença entre eles é
.
Calcular
numericamente:
Logo
(Em graus:
.)
Passo 3
Calcular a tensão do lado trativo (tensão apertada) usando a fórmula do atrito (fórmula de Euler-Capstan) e explicar a física por trás.
Fórmula de atrito para correias/cordas em torno de um tambor/polia:
onde
-
é a tensão no lado trativo (tensão maior), -
é a tensão no lado frouxo (dada ), -
é o coeficiente de atrito correia/polia, -
é o ângulo de contato (em radianos) sobre a polia onde o escorregamento tende a ocorrer.
Explicação: essa equação expressa o equilíbrio de forças infinitesimais ao longo do arco de contato — a razão entre as tensões cresce exponencialmente com o produto
. No caso em que a polia motora é a menor, o menor ângulo de contato é crítico para o limite de tensão transmissível, portanto usamos
(o menor wrap).
Aplicando números:
Calcular o expoente:
Portanto
Passo 4
Calcular a força tangencial transmitida pela correia (força útil na periferia da polia).
A força tangencial
é a diferença entre a tensão do lado apertado e a tensão do lado frouxo:
Substituindo os valores:
Comentário físico: essa
é a força que age tangencialmente sobre a polia motora e é responsável pelo torque transmitido e pela potência entregue ao eixo movido.
Passo 5
Calcular a “deflexão” pelos dois métodos (interpretação: ângulo de deflexão
). Mostrar os dois métodos e justificar.
Método A — método exato (geométrico):
- já calculamos
. - logo a deflexão exata (ângulo pelo qual a correia muda de direção na polia) é
(Em graus:
.)
Método B — aproximação para pequeno
:
- para pequenos argumentos
, portanto . - assim a deflexão aproximada é
Comparação: os dois resultados são muito próximos, a aproximação é muito boa porque
é pequeno.
Passo 6
Calcular o comprimento da correia. Vou usar a expressão exata (em termos de
e de uma raiz quadrada geométrica) e mostrar a simplificação numérica.
Fórmula exata para correia aberta (comprimento total):
onde
e
. Explicação rápida: o comprimento é soma dos arcos de contato (
e
) mais as duas partes retas (cada uma com comprimento
).
Substituir valores:
- já temos
, . -
Calcular os arcos:
Somando:
Observação: a forma aproximada frequentemente usada é
que, ao aplicar os números, dá um valor praticamente idêntico (por ser uma aproximação válida quando
é relativamente grande frente à diferença de raios).
Resposta
Ângulo de contato da polia menor:
\n
Força do lado trativo (tensão apertada): \n
Força tangencial transmitida: \n
Deflexão (ângulo) — método exato: ; método aproximado:
\n
Comprimento da correia:
Força do lado trativo (tensão apertada):
Força tangencial transmitida:
Deflexão (ângulo) — método exato:
Comprimento da correia: