Pretende-se construir um aterro, mecanicamente compactado, com um volume final de 42000 \mathrm{~m}^{3}. Para o material de empréstimo foi selecionada uma jazida cujo terreno apresenta as seguintes características: teor de umidade natural igual a 16 \%, índice de vazios igual a 0,7 e pesos específico das partículas sólidas igual a 26,2 \mathrm{KN} / \mathrm{m}^{3}. Pelo processo construtivo, as caçambas lançam suas cargas no aterro, o material é espalhado, seguindo-se de adição de água até o teor de umidade de 18 \%. O solo e a água são vigorosamente misturados e então são compactados até que o aterro apresente um peso específico seco de 17 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}. Desprezando-se as perdas de água por evaporação e manuseio do solo, calcule o volume de solo retirado da jazida.

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: calcular o volume de solo retirado da jazida (volume em situação natural, antes de adicionar água e compactar) para obter um aterro compactado com volume final de 42000\\ \mathrm{m}^3.
  • Dados fornecidos:
    • Volume final do aterro: V_f = 42000\\ \mathrm{m}^3.
    • Teor de umidade natural do material na jazida: w_0 = 16\% = 0{,}16.
    • Após lançamento e espalhamento, adiciona-se água até w_1 = 18\% = 0{,}18.
    • Índice de vazios da jazida: e = 0{,}7.
    • Peso específico das partículas sólidas (peso dos sólidos por unidade de volume de sólidos): \gamma_s = 26{,}2\\ \mathrm{kN/m}^3.
    • Peso específico seco final do aterro (após compactação): \gamma_{d,f} = 17\\ \mathrm{kN/m}^3.
  • Observação importante usada na solução: desprezam-se perdas de água; portanto a massa de sólidos que sai da jazida é igual à massa de sólidos que fica no aterro (conservação da massa de sólidos).

Passo 2

Estratégia de solução (passo a passo do raciocínio físico).
  • Como a massa (ou peso) dos sólidos é conservada, vamos:
    1. calcular o peso dos sólidos contidos no aterro final usando \gamma_{d,f} e V_f;
    2. esse peso de sólidos é igual ao peso de sólidos que estava na jazida antes da remoção;
    3. conhecendo o peso específico seco inicial da jazida (obtido a partir de e e \gamma_s), podemos calcular o volume natural da jazida que contém esse peso de sólidos.
  • Fórmulas que vamos usar e o porquê:
    • Definição de peso específico seco: \gamma_d = \dfrac{W_s}{V}, onde W_s é o peso dos sólidos e V é o volume total do elemento de solo (sólidos + vazios).
    • Relação entre \gamma_d, \gamma_s e e: usando W_s = V_s\gamma_s e V = V_s+V_v = V_s(1+e), obtém-se \gamma_d = \frac{W_s}{V}=\frac{V_s\gamma_s}{V_s(1+e)}=\frac{\gamma_s}{1+e}.Essa fórmula dá o peso específico seco de um solo conhecido o índice de vazios e e \gamma_s.
    • Conservação dos sólidos: W_{s,\text{jazida}} = W_{s,\text{aterro}}.
    • Volume inicial da jazida a ser retirado: V_{\text{jazida}} = \dfrac{W_{s,\text{jazida}}}{\gamma_{d,\text{jazida}}}.

Passo 3

Calcular o peso específico seco inicial da jazida a partir de e e \gamma_s.
  • Aplicando a fórmula \gamma_{d0}=\dfrac{\gamma_s}{1+e}: \gamma_{d0}=\frac{26{,}2}{1+0{,}7}=\frac{26{,}2}{1{,}7}.
  • Para facilitar cálculo exato, escrevendo como fração: \gamma_{d0}=\frac{262}{17}\\ \mathrm{kN/m}^3.
  • Valor numérico aproximado: \gamma_{d0}\approx 15{,}4118\\ \mathrm{kN/m}^3.
Explicação didática curta: isso significa que, no estado natural da jazida, cada metro cúbico de solo (sólidos + vazios + água presente nos vazios) corresponde a cerca de 15{,}41\\ \mathrm{kN} de material seco (peso dos sólidos por volume total).

Passo 4

Calcular o peso dos sólidos que deve existir no aterro final.
  • O peso dos sólidos no aterro final é simplesmente o peso seco por volume do aterro vezes o volume final: W_{s,\text{aterro}}=\gamma_{d,f}\cdot V_f.
  • Substituindo números: W_{s,\text{aterro}}=17\cdot 42000 = 714000\\ \mathrm{kN}.
Interpretação: para preencher 42000\\ \mathrm{m}^3 com peso seco de 17\\ \mathrm{kN/m}^3 precisa-se de 714000\\ \mathrm{kN} de sólidos (peso dos sólidos, lembrando que aqui peso está em kN).

Passo 5

Usar conservação dos sólidos para achar o volume inicial a ser retirado da jazida.
  • Pelo princípio da conservação dos sólidos: W_{s,\text{jazida}}=W_{s,\text{aterro}}=714000\\ \mathrm{kN}.
  • O volume de solo na jazida correspondente a esse peso de sólidos é V_{\text{jazida}}=\frac{W_{s,\text{jazida}}}{\gamma_{d0}}=\frac{714000}{262/17}.
  • Calcular numericamente: V_{\text{jazida}}=714000\cdot\frac{17}{262}\approx 46328{,}23\\ \mathrm{m}^3.
Interpretação: é o volume de material natural (com seus vazios e sua umidade inicial 16\%) que deve ser retirado da jazida para fornecer os sólidos necessários ao aterro compactado.

Passo 6

Comentário didático-final e verificação rápida (opcional, para entendimento).
  • Observação: o acréscimo de água de 16\% para 18\% não altera a quantidade de sólidos necessária — ele apenas aumenta a massa de água adicionada antes da compactação. Como o enunciado pede o volume de solo retirado da jazida e desconsidera perdas de água, a conta baseia-se apenas na conservação dos sólidos.
  • Checagem rápida: como \gamma_{d0}\approx 15{,}41\\ \mathrm{kN/m}^3 é menor que \gamma_{d,f}=17\\ \mathrm{kN/m}^3, faz sentido físico que o volume retirado da jazida ( \approx 46328\\ \mathrm{m}^3) seja maior que o volume final compactado ( 42000\\ \mathrm{m}^3): a compactação reduz o volume.

Resposta

46328{,}23\\ \mathrm{m}^3

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