1. Por que o peso é uma força conservativa?

Passo 1

O enunciado pergunta por que o peso de um corpo é uma força conservativa. O conteúdo envolvido é mecânica clássica, mais especificamente definição de força conservativa e energia potencial gravitacional. Para responder precisamos usar a definição de força conservativa (trabalho independente do caminho ou existência de potencial) e mostrar que o trabalho da força peso depende apenas da variação de altura.

Passo 2

Considere dois pontos A e B em que o corpo se move sob a ação da força peso \vec{P}=m\vec{g}, com \vec{g} constante e apontando para baixo. O trabalho da força peso ao longo de uma trajetória arbitrária de A a B é
W_{A\to B} = \int_{A}^{B}\vec{P}\cdot d\vec{r} = \int_{A}^{B}m\vec{g}\cdot d\vec{r}.
Como \vec{g} só tem componente vertical, escrevemos d\vec{r}=(dx,dy,dz) e \vec{g}=(0,0,-g). Logo
\vec{g}\cdot d\vec{r}=-g\,dz \quad\Longrightarrow\quad W_{A\to B} = m\int_{z_A}^{z_B}(-g)\,dz = mg\,(z_A-z_B).
Repare que esse resultado depende apenas das alturas z_A e z_B, e não do caminho seguido. Isso prova que o trabalho é independente do percurso.

Passo 3

Como o trabalho entre dois pontos independe do caminho, existe uma energia potencial U(z) tal que
U(z) = mg\,z \quad\text{e}\quad \vec{P} = -\nabla U.
Uma das definições equivalentes de força conservativa é precisamente poder escrevê-la como o gradiente negativo de um potencial. Além disso, o trabalho em um ciclo fechado é
\oint \vec{P}\cdot d\vec{r} = 0,
o que confirma o caráter conservativo.

Resposta

O peso é força conservativa porque seu trabalho entre dois pontos depende apenas da variação de altura (caminho independente) e porque pode ser obtido como \vec{P}=-\nabla U com U(z)=mgz.

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