1(1,0) - O peso de 3 \mathrm{dm}^{3} de uma substância é 24 N . A viscosidade cinemática é 10^{-1} stoke. Se a aceleração da gravidade for 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, qual será a viscosidade dinâmica no Sistema Internacional de Unidades? Converta o resultado em cp.
Obs.: Em todas as transformações de unidades da questăo utilize o método da conversão em cadeia.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei todos os valores do enunciado):
  • Dados:
    • volume: \,V=3\\ \mathrm{dm}^{3}.
    • peso (força peso): \,P=24\\ \mathrm{N}.
    • viscosidade cinemática: \,\nu=10^{-1}\\ \text{stoke}.
    • aceleração da gravidade: \,g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
  • Perguntas:
    1. Encontrar a viscosidade dinâmica no Sistema Internacional de Unidades (SI), isto é \,\mu em \mathrm{Pa\cdot s}.
    2. Converter o resultado para centipoise ( \mathrm{cP}).

Passo 2

Primeiro vamos obter o volume em unidades SI. Usando conversão em cadeia: 1\\ \mathrm{dm}=0{,}1\\ \mathrm{m}, logo
1\\ \mathrm{dm}^{3}=(0{,}1\\ \mathrm{m})^{3}=10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.
Portanto
V=3\\ \mathrm{dm}^{3}=3\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 3

Agora calculamos a massa a partir do peso. A relação entre peso (força) e massa é P=mg, onde:
  • \,P é o peso em newtons ( \mathrm{N}),
  • \,m é a massa em quilogramas ( \mathrm{kg}),
  • \,g é a aceleração da gravidade em \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
Isolando a massa:
m=\frac{P}{g}=\frac{24\\ \mathrm{N}}{10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}}=2{,}4\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Com m e V obtemos a densidade \rho pelo método usual:
\rho=\frac{m}{V}.
Substituindo os valores (em SI):
\rho=\frac{2{,}4\\ \mathrm{kg}}{3\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}}=\frac{2{,}4}{3\times10^{-3}}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
Fazendo a conta passo a passo sem calculadora: \dfrac{2{,}4}{3}=0{,}8 e \dfrac{0{,}8}{10^{-3}}=0{,}8\times10^{3}=800. Logo
\rho=800\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.

Passo 5

Agora convertemos a viscosidade cinemática \nu de \text{stoke} para \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s} usando conversão em cadeia. Por definição em cgs:
1\\ \text{stoke}=1\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}.
E 1\\ \mathrm{cm}=10^{-2}\\ \mathrm{m}, então
1\\ \mathrm{cm}^{2}=(10^{-2}\\ \mathrm{m})^{2}=10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}.
Portanto
\nu=10^{-1}\\ \text{stoke}=10^{-1}\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}=10^{-1}\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}=10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.

Passo 6

Explicação conceitual curta (útil para a prova): a viscosidade cinemática \nu mede a viscosidade relativa à densidade; a viscosidade dinâmica \mu é a que aparece na lei de Newton para fluidos viscosos. A relação entre elas é
\mu=\rho\,\nu,
onde:
  • \mu é a viscosidade dinâmica em \mathrm{Pa\cdot s} (no SI),
  • \rho é a densidade em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3},
  • \nu é a viscosidade cinemática em \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.
Unidades: \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}\times\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}=\mathrm{kg}/(\mathrm{m\cdot s}), que é equivalente a \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 7

Aplicando \mu=\rho\,\nu com os valores em SI:
\mu=(800\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3})\times(10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s})=800\times10^{-5}\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m\cdot s}).
Calcule passo a passo: 800\times10^{-5}=(8\times10^{2})\times10^{-5}=8\times10^{-3}. Então
\mu=8\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 8

Agora convertemos \mu para centipoise ( \mathrm{cP}). Relações relevantes:
1\\ \mathrm{P}=0{,}1\\ \mathrm{Pa\cdot s},\qquad 1\\ \mathrm{cP}=10^{-2}\\ \mathrm{P}=10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Ou mais direto: 1\\ \mathrm{cP}=10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}. Então para converter de \mathrm{Pa\cdot s} para \mathrm{cP} multiplica-se por 10^{3}:
\mu\\ (\mathrm{cP})=\frac{\mu\\ (\mathrm{Pa\cdot s})}{10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}/\mathrm{cP}}=\mu\\ (\mathrm{Pa\cdot s})\times10^{3}.
Aplicando ao valor:
\mu=8\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}\quad\Rightarrow\quad \mu=8\times10^{-3}\times10^{3}\\ \mathrm{cP}=8\\ \mathrm{cP}.

Resposta

\mu=8\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}
\mu=8\\ \mathrm{cP}

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