Numa pesquisa eleitoral, 57 dentre 150 entrevistados afirmaram que votariam no candidato X. Com uma confiança de 90 \%, o que você pode dizer acerca da proporção real de votos aquele candidato terá?

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=150 em que 57 entrevistados afirmaram intenção de voto no candidato X. O conteúdo é estimação de intervalo de confiança para proporção em amostra grande. Vamos precisar usar a aproximação normal ao binomial e a fórmula do intervalo de confiança para proporção.

Passo 2

Calculamos a proporção amostral \hat p como
\hat p = \frac{57}{150} = 0,38.

Passo 3

Verificamos as condições para usar a aproximação normal:
n\hat p = 150 \times 0,38 = 57 > 5 \quad\text{e}\quad n(1-\hat p) = 150 \times 0,62 = 93 > 5.
Portanto, podemos usar a fórmula normal.

Passo 4

A variância de \hat p sob o modelo binomial é \frac{\hat p(1-\hat p)}{n}. Assim, o erro-padrão é
\mathrm{SE} = \sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0,38 \times 0,62}{150}} \approx 0,0396.

Passo 5

Para um nível de confiança de 90\%, o quantil crítico da normal é
z_{0,05} = 1,645.

Passo 6

O erro máximo tolerável (margem de erro) é
E = z_{0,05} \times \mathrm{SE} \approx 1,645 \times 0,0396 \approx 0,0652.

Passo 7

O intervalo de confiança de 90\% para a proporção real p é
\hat p \pm E \quad\Longrightarrow\quad 0,38 \pm 0,0652 \quad\Longrightarrow\quad [0,3148,\;0,4452].

Resposta

Com 90\% de confiança, a proporção real de votos para o candidato X está entre aproximadamente 31{,}5\% e 44{,}5\%.

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