Para decidir se uma moeda é balanceada (honesta) ela é lançada 40 vezes e cara aparece 13 vezes. Construa um intervalo de 95 \% de confiança para a verdadeira proporção de caras p. O que você conclui?

Passo 1

O enunciado diz que lançamos uma moeda n=40 vezes e obtivemos X=13 caras. Queremos um intervalo de confiança de 95\% para a verdadeira proporção de caras p. Como n é razoavelmente grande e X e n-X são maiores que 5, usamos a aproximação normal (Teorema do Limite Central) para a proporção.

Passo 2

O estimador pontual para p é
\hat p = \frac{X}{n} = \frac{13}{40} = 0{,}325.
Esse valor é a melhor estimativa de p com base na amostra.

Passo 3

Para construir o intervalo, precisamos do erro-padrão (EP) de \hat p, dado por
\mathrm{EP}(\hat p) = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}325 \times 0{,}675}{40}} \approx 0{,}0740.

Passo 4

O quantil crítico para 95\% de confiança na distribuição normal é
z_{0,975} = 1{,}96.
Logo a margem de erro (ME) é
\mathrm{ME} = z_{0,975}\,\mathrm{EP}(\hat p) = 1{,}96 \times 0{,}0740 \approx 0{,}1450.

Passo 5

O intervalo de confiança de 95\% para p é
\hat p \pm \mathrm{ME} \quad\Longrightarrow\quad 0{,}325 \pm 0{,}145 \;\approx\; (0{,}180,\;0{,}470).

Passo 6

Para concluir, verificamos se p=0{,}5 (moeda honesta) está dentro do intervalo. Como 0{,}5 não pertence a (0{,}180,0{,}470), há evidência, a 5\% de significância, de que a moeda não é balanceada.

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para p é aproximadamente
(0{,}18,\;0{,}47).
Como 0{,}5 não está nesse intervalo, concluímos que a moeda provavelmente não é honesta.

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