Uma pesquisa de mercado entrevistou 500 consumidores e constatou que 120 preferem a marca A em vez da marca B. A empresa deseja saber, com
de confiança, em que faixa pode estar a verdadeira proporção de consumidores que preferem a marca A no mercado.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:\n
- A amostra tem tamanho
.\n - O número de consumidores que preferem a marca A é
.\n - A empresa quer uma faixa (intervalo de confiança) de
para a verdadeira proporção de consumidores que preferem a marca A no mercado (ou seja, para a proporção populacional).\n
O objetivo final: apresentar o intervalo de confiança depara .
Passo 2
Calcular a proporção amostral
(este é o estimador natural para
):\n
Substituindo os valores:
Passo 3
Escolher o método e a fórmula do intervalo de confiança:\n
Para proporções, quando a amostra é suficientemente grande, usamos a aproximação normal para a distribuição de . O intervalo de confiança de nível
(aqui
então
) é dado por
Para proporções, quando a amostra é suficientemente grande, usamos a aproximação normal para a distribuição de
Expliquei o que cada símbolo significa:\n
-
é a proporção observada na amostra (estimador de ).\n -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente à cauda de probabilidade . Para usamos .\n -
é o erro padrão (desvio padrão) da proporção amostral; vem da variação da binomial e da propriedade de que a variância de é aproximadamente , que substituímos por quando é desconhecido.\n
Condição prática para usar essa aproximação: tantoquanto devem ser “grandes” (regra de bolso: pelo menos ou ). Aqui:
ambos bem maiores que
, então a aproximação normal é válida.
Passo 4
Calcular o erro padrão numérico passo a passo:\n
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Divida por
:
Agora a raiz quadrada para obter o erro padrão:
(Explicação rápida: a raiz dá a escala típica de variação de
ao redor de
.)
Passo 5
Determinar o valor crítico
para
de confiança:\n
O valor bem conhecido é
O valor bem conhecido é
Intuição:
é o número de desvios padrão da distribuição normal para cobrir aproximadamente
da área central.
Passo 6
Calcular a margem de erro (meio do comprimento do intervalo):\n
Passo 7
Calcular os limites do intervalo de confiança e interpretar:\n
Limite inferior:
Limite inferior:
Limite superior:
Interpretação em palavras (útil na prova): com
de confiança, a verdadeira proporção de consumidores que preferem a marca A está aproximadamente entre
e
. Isso significa que, se repetíssemos muitas amostras do mesmo tamanho e construíssemos intervalos do mesmo tipo, cerca de
desses intervalos conteriam a verdadeira proporção
.