Uma pesquisa de mercado entrevistou 500 consumidores e constatou que 120 preferem a marca A em vez da marca B. A empresa deseja saber, com 95 \% de confiança, em que faixa pode estar a verdadeira proporção de consumidores que preferem a marca A no mercado.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:\n
  • A amostra tem tamanho n=500.\n
  • O número de consumidores que preferem a marca A é x=120.\n
  • A empresa quer uma faixa (intervalo de confiança) de 95\% para a verdadeira proporção de consumidores que preferem a marca A no mercado (ou seja, para a proporção p populacional).\n
    O objetivo final: apresentar o intervalo de confiança de 95\% para p.

Passo 2

Calcular a proporção amostral \hat p (este é o estimador natural para p):\n
\hat p=\frac{x}{n}.
Substituindo os valores:
\hat p=\frac{120}{500}=0,24.

Passo 3

Escolher o método e a fórmula do intervalo de confiança:\n
Para proporções, quando a amostra é suficientemente grande, usamos a aproximação normal para a distribuição de \hat p. O intervalo de confiança de nível 1-\alpha (aqui 95\% então \alpha=0,05) é dado por
\hat p \pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Expliquei o que cada símbolo significa:\n
  • \hat p é a proporção observada na amostra (estimador de p).\n
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente à cauda de probabilidade \alpha/2. Para 95\% usamos z_{0,975}.\n
  • \sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}} é o erro padrão (desvio padrão) da proporção amostral; vem da variação da binomial e da propriedade de que a variância de \hat p é aproximadamente \dfrac{p(1-p)}{n}, que substituímos por \dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n} quando p é desconhecido.\n
    Condição prática para usar essa aproximação: tanto n\hat p quanto n(1-\hat p) devem ser “grandes” (regra de bolso: pelo menos 5 ou 10). Aqui:
n\hat p = 500\times0,24=120,\qquad n(1-\hat p)=500\times0,76=380,
ambos bem maiores que 10, então a aproximação normal é válida.

Passo 4

Calcular o erro padrão numérico passo a passo:\n
Primeiro calcule \hat p(1-\hat p):
\hat p(1-\hat p)=0,24\times0,76=0,1824.
Divida por n:
\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}=\frac{0,1824}{500}=0,0003648.
Agora a raiz quadrada para obter o erro padrão:
\text{SE}=\sqrt{0,0003648}\approx0,0191.
(Explicação rápida: a raiz dá a escala típica de variação de \hat p ao redor de p.)

Passo 5

Determinar o valor crítico z_{0,975} para 95\% de confiança:\n
O valor bem conhecido é
z_{0,975}\approx1,96.
Intuição: 1,96 é o número de desvios padrão da distribuição normal para cobrir aproximadamente 95\% da área central.

Passo 6

Calcular a margem de erro (meio do comprimento do intervalo):\n
\text{margem}=z_{0,975}\times\text{SE}=1,96\times0,0191\approx0,0374.

Passo 7

Calcular os limites do intervalo de confiança e interpretar:\n
Limite inferior:
\hat p-\text{margem}=0,24-0,0374=0,2026\approx0,203.
Limite superior:
\hat p+\text{margem}=0,24+0,0374=0,2774\approx0,277.
Interpretação em palavras (útil na prova): com 95\% de confiança, a verdadeira proporção de consumidores que preferem a marca A está aproximadamente entre 0,203 e 0,277. Isso significa que, se repetíssemos muitas amostras do mesmo tamanho e construíssemos intervalos do mesmo tipo, cerca de 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira proporção p.

Resposta

[0,203;\,0,277]

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