Em pesquisa realizada, constatou-se que a população §, em milhares de pessoas, de determinada cidade cresce segundo a expressão P(t) = 10.3, em que t representa o tempo em anos. Podemos afirmar corretamente que, para atingir uma população de 270 mil pessoas, será necessário um tempo de:
a) 2 anos.
b) 3 anos.
c) 4 anos.
d) 5 anos.
e) 6 anos.
a) 2 anos.
b) 3 anos.
c) 4 anos.
d) 5 anos.
e) 6 anos.
Passo 1
Então, a gente tem um problema sobre o crescimento da população de uma cidade. A população $ P(t) $, em milhares de pessoas, cresce de acordo com a função $ P(t) = 10 \cdot 3^t $, onde $ t $ é o tempo em anos. Queremos descobrir em quantos anos a população vai chegar a 270 mil pessoas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar na equação o valor que a população deve atingir:
Aqui, queremos encontrar o valor de $ t $ que satisfaz essa equação.
Passo 3
Agora, vamos isolar $ 3^t $. Para isso, dividimos os dois lados da equação por 10:
Então, temos:
Passo 4
Sabemos que $ 27 $ pode ser escrito como uma potência de 3:
Então, temos:
Passo 5
Como as bases são iguais, os expoentes também devem ser iguais. Portanto:
Resposta
Será necessário um tempo de 3 anos para atingir uma população de 270 mil pessoas. Alternativa (b) 3 anos.