Em pesquisa realizada, constatou-se que a população §, em milhares de pessoas, de determinada cidade cresce segundo a expressão P(t) = 10.3, em que t representa o tempo em anos. Podemos afirmar corretamente que, para atingir uma população de 270 mil pessoas, será necessário um tempo de:
a) 2 anos.
b) 3 anos.
c) 4 anos.
d) 5 anos.
e) 6 anos.

Passo 1

Então, a gente tem um problema sobre o crescimento da população de uma cidade. A população $ P(t) $, em milhares de pessoas, cresce de acordo com a função $ P(t) = 10 \cdot 3^t $, onde $ t $ é o tempo em anos. Queremos descobrir em quantos anos a população vai chegar a 270 mil pessoas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar na equação o valor que a população deve atingir:
10 cdot 3^t = 270
Aqui, queremos encontrar o valor de $ t $ que satisfaz essa equação.

Passo 3

Agora, vamos isolar $ 3^t $. Para isso, dividimos os dois lados da equação por 10:
3^t
Então, temos:
3^t = 27010 = 27

Passo 4

Sabemos que $ 27 $ pode ser escrito como uma potência de 3:
27
Então, temos:
27 = 3^3

Passo 5

Como as bases são iguais, os expoentes também devem ser iguais. Portanto:
t = 3

Resposta

Será necessário um tempo de 3 anos para atingir uma população de 270 mil pessoas. Alternativa (b) 3 anos.

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