Uma pesquisa realizada numa universidade mostrou que 30 dos 120 alunos entrevistados eram chefes de familia.
a) Calcule um intervalo com 99 \% de confiança para a proporção de estudantes chefes de família.
b) Se na universidade existem 15000 alunos matriculados, calcule um intervalo com 99 \% de confiança para o número de estudantes chefes de família.
c) Considerando que a amostra foi escolhida ao acaso, os resultados anteriores são válidos no caso de amostragem com reposição? E no caso de amostragem sem reposição?

Passo 1

O enunciado informa que numa amostra de n=120 alunos, x=30 eram chefes de família. Vamos estimar a proporção verdadeira p de chefes de família na população com 99\% de confiança, usando a aproximação normal ao binomial. Em seguida, multiplicaremos esse intervalo pela população total N=15000 para obter o intervalo para o número de chefes de família. Por fim, discutiremos o efeito da amostragem com e sem reposição.

Passo 2

Calculemos a proporção amostral
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{30}{120} = 0,25.
O erro‐padrão de \hat p (sem correção de população finita) é
\mathrm{SE}(\hat p) = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0,25\cdot0,75}{120}} \approx 0{,}03953.
Para 99\% de confiança, o valor crítico da normal é z_{0{,}005}\approx 2{,}5758. Logo, a margem de erro é
m = z_{0{,}005}\,\mathrm{SE}(\hat p) \approx 2{,}5758 \times 0{,}03953 \approx 0{,}1017.
Portanto, o intervalo de confiança para p é
0{,}25 \pm 0{,}1017 \quad\Longrightarrow\quad [\,0{,}1483,\;0{,}3517\,].

Passo 3

Para obter o intervalo de confiança para o número de chefes de família em toda a população de N=15000, basta multiplicar os limites do intervalo de proporção por N:
\text{limite inferior} = 0{,}1483 \times 15000 \approx 2224{,}5,
\text{limite superior} = 0{,}3517 \times 15000 \approx 5275{,}5.
Arredondando ao inteiro mais próximo, temos cerca de 2225 a 5276 chefes de família.

Passo 4

Em amostragem com reposição, os cálculos acima estão corretos. Em amostragem sem reposição, deve‐se aplicar o fator de correção de população finita (FPC):
\text{FPC} = \sqrt{\frac{N - n}{N - 1}} = \sqrt{\frac{15000 - 120}{15000 - 1}} \approx 0{,}9959.
Então o erro‐padrão corrigido é
\mathrm{SE}_{\rm fpc} = \mathrm{SE}(\hat p)\times\text{FPC} \approx 0{,}03953\times0{,}9959 \approx 0{,}03937,
e a nova margem de erro é
m_{\rm fpc} = 2{,}5758 \times 0{,}03937 \approx 0{,}1014.
Assim, o intervalo para p fica
0{,}25 \pm 0{,}1014 \quad\Longrightarrow\quad [\,0{,}1486,\;0{,}3514\,],
e para o número em N=15000,
[\,0{,}1486\times15000,\;0{,}3514\times15000\,] \approx [\,2229,\;5271\,].

Resposta

(a) Intervalo de 99\% de confiança para a proporção:
[\,0{,}1483,\;0{,}3517\,].
(b) Intervalo de 99\% de confiança para o número de chefes de família em N=15000:
[\,2225,\;5276\,].
(c) Os cálculos sem FPC valem para amostragem com reposição. Para amostragem sem reposição, aplica‐se o fator de correção de população finita, obtendo um intervalo ligeiramente mais estreito.

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