Uma pesquisa realizada numa universidade mostrou que 30 dos 120 alunos entrevistados eram chefes de familia.
a) Calcule um intervalo com
de confiança para a proporção de estudantes chefes de família.
b) Se na universidade existem 15000 alunos matriculados, calcule um intervalo com
de confiança para o número de estudantes chefes de família.
c) Considerando que a amostra foi escolhida ao acaso, os resultados anteriores são válidos no caso de amostragem com reposição? E no caso de amostragem sem reposição?
a) Calcule um intervalo com
b) Se na universidade existem 15000 alunos matriculados, calcule um intervalo com
c) Considerando que a amostra foi escolhida ao acaso, os resultados anteriores são válidos no caso de amostragem com reposição? E no caso de amostragem sem reposição?
Passo 1
O enunciado informa que numa amostra de
alunos,
eram chefes de família. Vamos estimar a proporção verdadeira
de chefes de família na população com
de confiança, usando a aproximação normal ao binomial. Em seguida, multiplicaremos esse intervalo pela população total
para obter o intervalo para o número de chefes de família. Por fim, discutiremos o efeito da amostragem com e sem reposição.
Passo 2
Calculemos a proporção amostral
O erro‐padrão de
(sem correção de população finita) é
Para
de confiança, o valor crítico da normal é
. Logo, a margem de erro é
Portanto, o intervalo de confiança para
é
Passo 3
Para obter o intervalo de confiança para o número de chefes de família em toda a população de
, basta multiplicar os limites do intervalo de proporção por
:
Arredondando ao inteiro mais próximo, temos cerca de
a
chefes de família.
Passo 4
Em amostragem com reposição, os cálculos acima estão corretos. Em amostragem sem reposição, deve‐se aplicar o fator de correção de população finita (FPC):
Então o erro‐padrão corrigido é
e a nova margem de erro é
Assim, o intervalo para
fica
e para o número em
,
Resposta
(a) Intervalo de
de confiança para a proporção:
(b) Intervalo de
de confiança para o número de chefes de família em
:
(c) Os cálculos sem FPC valem para amostragem com reposição. Para amostragem sem reposição, aplica‐se o fator de correção de população finita, obtendo um intervalo ligeiramente mais estreito.