Lim recente pesquisa levada a efeito junto a 200 habitantes de uma cidade, 40 se mostraram favoráveis ao restabelecimento da pena de morte.
a) Qual o \operatorname{IC}(0,99) para a verdadeira proporção de habitantes favoráveis à pena de morte?
b) Qual o grau de confiança na afirmação de que tal proporção está entre 15 \% e 25 \% ?

Passo 1

O enunciado diz que numa amostra de n=200 habitantes, x=40 são favoráveis à pena de morte. Queremos
  1. o intervalo de confiança de nível 99\% para a proporção verdadeira p, e
  2. o grau de confiança de a proporção verdadeira estar entre 15\% e 25\%.
    O método é a aproximação normal ao intervalo de proporção, válida se n\hat p e n(1-\hat p) são maiores que 5.

Passo 2

Calcular a proporção amostral \hat p e seu erro-padrão.
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{40}{200} = 0{,}20.
O erro-padrão é
\mathrm{SE} = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}20\times0{,}80}{200}} = \sqrt{0{,}0008} \approx0{,}0283.

Passo 3

Para o nível de confiança 99\%, o valor crítico da normal padrão é
z_{0{,}995}\approx2{,}5758.
A margem de erro fica
E = z_{0{,}995}\times\mathrm{SE} \approx2{,}5758\times0{,}0283 \approx0{,}0729.
Logo o intervalo de confiança é
0{,}20 \pm 0{,}0729 \;\Longrightarrow\; \bigl[0{,}1271,\;0{,}2729\bigr].

Passo 4

Agora queremos o nível de confiança para o intervalo simétrico \hat p\pm d com d=0{,}05 (isto é, de 15\% a 25\%).
Calculamos
z = \frac{d}{\mathrm{SE}} = \frac{0{,}05}{0{,}0283} \approx1{,}7678.

Passo 5

O grau de confiança é a probabilidade de cair entre -z e +z na normal padrão:
\text{confiança} = 2\bigl[\Phi(z)-0{,}5\bigr] \approx 2\bigl[0{,}9615 - 0{,}5\bigr] =0{,}9230 \;\Longrightarrow\; 92{,}30\%.ç

Resposta

a) O intervalo de confiança de 99\% é aproximadamente
\bigl[0{,}1271,\;0{,}2729\bigr].
b) O grau de confiança de que p está entre 15\% e 25\% é cerca de 92{,}3\%.

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