Um pesquisador em Matemática está explorando as propriedades das raízes de polinômios de terceiro grau. Durante seu estudo, ele se deparou com uma expressão curiosa envolvendo radicais conjugados, definida por:
O desafio consiste em simplificar essa expressão para sua forma mais elegante. Sabendo que a expressão apresentada admite simplificação exata e que seu valor é um número inteiro, assinale a alternativa que corresponde ao valor de S:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
Passo 1
O enunciado nos dá a expressão
e pede que identifiquemos o valor de
entre as alternativas:
.
Informações relevantes: os dois radicais cúbicos aparecem como termos conjugados . O enunciado afirma que a simplificação é exata e que
é um número inteiro.
Informações relevantes: os dois radicais cúbicos aparecem como termos conjugados
Passo 2
Vamos usar uma identidade algébrica útil para soma de raízes cúbicas. Se definirmos
então vale a identidade (expansão do cubo)
Aqui cada simbolo significa:
-
é a raiz cúbica de , isto é . -
é a raiz cúbica de , isto é . -
é o produto das raízes cúbicas, que é .
No nosso problema tomamos
logo
. A ideia é usar a identidade acima para obter uma equação para
.
Passo 3
Calculemos o produto dos radicandos
e
:
Usando
temos
Agora as contas detalhadas:
Assim
Observe que
é um cubo perfeito, pois
Portanto
Passo 4
Aplique a identidade do Passo 2 com
e
. Temos
Calcule
:
Substituindo
e
obtemos
Rearranjando,
Passo 5
Agora resolvemos a equação cúbica
Como o enunciado dá alternativas inteiras, é natural testar as opções. Testando
:
Portanto
é uma raiz da cúbica. Podemos fatorar o polinômio:
Verificação rápida pela expansão confirma a fatoração.
Passo 6
Analisemos as outras raízes: o discriminante do quadrático
é
Logo o quadrático não tem raízes reais, de modo que a única raiz real da cúbica é
. Como
é soma de raízes cúbicas de números reais,
é real, portanto o valor procurado é
.
Passo 7
Resumo e pequeno reforço: a chave foi usar a identidade
e notar que o produto dos radicandos é um cubo perfeito (
), o que permitiu reduzir a expressão a uma cúbica simples que tem
como única raiz real. Vai dar tudo certo na prova — boa energia!