Um pesquisador em Matemática está explorando as propriedades das raízes de polinômios de terceiro grau. Durante seu estudo, ele se deparou com uma expressão curiosa envolvendo radicais conjugados, definida por:
S=\sqrt[3]{517-56 \sqrt{85}}+\sqrt[3]{517+56 \sqrt{85}}
O desafio consiste em simplificar essa expressão para sua forma mais elegante. Sabendo que a expressão apresentada admite simplificação exata e que seu valor é um número inteiro, assinale a alternativa que corresponde ao valor de S:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
S=\sqrt[3]{517-56 \sqrt{85}}+\sqrt[3]{517+56 \sqrt{85}}
e pede que identifiquemos o valor de S entre as alternativas: 8,9,10,11,12.
Informações relevantes: os dois radicais cúbicos aparecem como termos conjugados 517\mp56\sqrt{85}. O enunciado afirma que a simplificação é exata e que S é um número inteiro.

Passo 2

Vamos usar uma identidade algébrica útil para soma de raízes cúbicas. Se definirmos
u=\sqrt[3]{P},\qquad v=\sqrt[3]{Q},
então vale a identidade (expansão do cubo)
(u+v)^3 = u^3+v^3+3uv(u+v).
Aqui cada simbolo significa:
  • u é a raiz cúbica de P, isto é u^3=P.
  • v é a raiz cúbica de Q, isto é v^3=Q.
  • uv é o produto das raízes cúbicas, que é \sqrt[3]{PQ}.
No nosso problema tomamos
u=\sqrt[3]{517-56\sqrt{85}},\qquad v=\sqrt[3]{517+56\sqrt{85}},
logo S=u+v. A ideia é usar a identidade acima para obter uma equação para S.

Passo 3

Calculemos o produto dos radicandos P e Q:
P=(517-56\sqrt{85}),\qquad Q=(517+56\sqrt{85}).
Usando (a-b)(a+b)=a^2-b^2 temos
PQ=517^2-(56\sqrt{85})^2.
Agora as contas detalhadas:
517^2=267289,
56^2=3136,
3136\cdot85=266560.
Assim
PQ=267289-266560=729.
Observe que 729 é um cubo perfeito, pois
729=9^3.
Portanto
uv=\sqrt[3]{PQ}=\sqrt[3]{729}=9.

Passo 4

Aplique a identidade do Passo 2 com u^3=P e v^3=Q. Temos
S^3 = u^3+v^3+3uv\,S = (P+Q)+3(uv)S.
Calcule P+Q:
P+Q=(517-56\sqrt{85})+(517+56\sqrt{85})=2\cdot517=1034.
Substituindo uv=9 e P+Q=1034 obtemos
S^3 = 1034 + 3\cdot 9\;S = 1034 + 27S.
Rearranjando,
S^3 - 27S - 1034 = 0.

Passo 5

Agora resolvemos a equação cúbica
S^3 - 27S - 1034 = 0.
Como o enunciado dá alternativas inteiras, é natural testar as opções. Testando S=11:
11^3 - 27\cdot11 - 1034 = 1331 - 297 - 1034 = 0.
Portanto S=11 é uma raiz da cúbica. Podemos fatorar o polinômio:
S^3 - 27S - 1034 = (S-11)(S^2+11S+94).
Verificação rápida pela expansão confirma a fatoração.

Passo 6

Analisemos as outras raízes: o discriminante do quadrático S^2+11S+94 é
\Delta = 11^2 - 4\cdot1\cdot94 = 121 - 376 = -255 < 0.
Logo o quadrático não tem raízes reais, de modo que a única raiz real da cúbica é S=11. Como S é soma de raízes cúbicas de números reais, S é real, portanto o valor procurado é 11.

Passo 7

Resumo e pequeno reforço: a chave foi usar a identidade (u+v)^3 = u^3+v^3+3uv(u+v) e notar que o produto dos radicandos é um cubo perfeito ( 729=9^3), o que permitiu reduzir a expressão a uma cúbica simples que tem 11 como única raiz real. Vai dar tudo certo na prova — boa energia!

Resposta

11

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