Considere uma amostra com n termos \left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), onde \bar{x}, S e S^{2} representam, respectivamente, a média aritmética, o desvio padrão amostral e a variância amostral. NÃO podemos afirmar que:
a) \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)=0
b) \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n \overline{\mathrm{x}}^{2}
c) \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\frac{\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}}{n}
d) \sqrt{n} S=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}
e) n S^{2}-S^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para indicar qual das afirmações (a), (b), (c), (d) ou (e) NÃO podemos afirmar, dado:
  • Uma amostra com n termos \left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right).
  • \bar{x} é a média aritmética amostral.
  • S é o desvio padrão amostral.
  • S^{2} é a variância amostral.
    As opções a verificar são listadas no enunciado (a) a (e). A resolução começa a partir do próximo passo.

Passo 2

Provar que a afirmação (a) é verdadeira. Começo lembrando a definição da média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}.
Agora calcule a soma dos desvios:
\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right) =\sum_{i=1}^{n}x_{i}-\sum_{i=1}^{n}\bar{x}.
Como \bar{x} é constante em relação a i, tem-se \sum_{i=1}^{n}\bar{x}=n\bar{x}. Assim:
\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right) =\sum_{i=1}^{n}x_{i}-n\bar{x}.
Mas pela definição de \bar{x} temos \sum_{i=1}^{n}x_{i}=n\bar{x}. Logo
\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)=n\bar{x}-n\bar{x}=0.
Portanto (a) é verdadeira.

Passo 3

Provar que a afirmação (b) é verdadeira. Expandimos o quadrado:
\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} =\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}^{2}-2x_{i}\bar{x}+\bar{x}^{2}\right).
Separando somas:
\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} =\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-2\bar{x}\sum_{i=1}^{n}x_{i}+\sum_{i=1}^{n}\bar{x}^{2}.
Novamente \sum_{i=1}^{n}x_{i}=n\bar{x} e \sum_{i=1}^{n}\bar{x}^{2}=n\bar{x}^{2}. Substituindo:
\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} =\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-2\bar{x}\cdot n\bar{x}+n\bar{x}^{2} =\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\bar{x}^{2}.
Portanto (b) é verdadeira.

Passo 4

Mostrar que (c) é equivalente a (b), logo também verdadeira. Usando \bar{x}=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n} na expressão da opção (b) obtemos:
n\bar{x}^{2}=n\left(\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}\right)^{2}=\frac{\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}}{n}.
Substituindo em (b) dá exatamente
\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} =\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-\frac{\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}}{n},
que é a afirmação (c). Logo (c) é verdadeira.

Passo 5

Explicar a definição de variância e desvio padrão amostral usada aqui (essencial para analisar (d) e (e)). A variância amostral S^{2} normalmente é definida como
S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2},
onde n-1 é o grau de liberdade (essa é a definição de variância amostral usual, que torna S^{2} um estimador não viesado da variância da população). O desvio padrão amostral é a raiz positiva:
S=\sqrt{S^{2}}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}.
Aqui explicitei o significado de cada símbolo: S^{2} é a média dos quadrados dos desvios multiplicada por 1/(n-1), e S é a raiz quadrada disso.

Passo 6

Analisar (d). A afirmação diz:
\sqrt{n}\,S=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}.
Elevar ao quadrado ambos os lados é uma forma direta de comparar. Lado esquerdo ao quadrado:
\left(\sqrt{n}\,S\right)^{2}=nS^{2}.
Usando a definição de S^{2} do passo anterior,
nS^{2}=n\cdot\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\frac{n}{\,n-1\,}\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}.
Já o lado direito ao quadrado é simplesmente
\left(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}\right)^{2} =\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}.
Comparando, para que (d) fosse verdadeira precisaríamos ter
\frac{n}{\,n-1\,}\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} =\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2},
ou seja \dfrac{n}{n-1}=1, o que só ocorre no limite n\to\infty. Para qualquer n finito com n\ge 2 temos \dfrac{n}{n-1}>1, logo a igualdade não vale em geral. Concluímos que (d) é, em geral, falsa.

Passo 7

Dar um exemplo numérico rápido para sentir a diferença (para motivar e fixar). Tome n=3 e os dados x_{1}=0,\;x_{2}=0,\;x_{3}=3.
Calcule a média:
\bar{x}=\frac{0+0+3}{3}=1.
Soma dos quadrados dos desvios:
\sum_{i=1}^{3}(x_{i}-\bar{x})^{2}=(0-1)^{2}+(0-1)^{2}+(3-1)^{2}=1+1+4=6.
Variância amostral:
S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{3}(x_{i}-\bar{x})^{2}=\frac{6}{2}=3,
então S=\sqrt{3}. Agora calcule os dois lados de (d):
\sqrt{n}\,S=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3, \qquad \sqrt{\sum_{i=1}^{3}(x_{i}-\bar{x})^{2}}=\sqrt{6}\approx 2{,}449.
Como 3\neq 2{,}449, o exemplo confirma que (d) falha.

Passo 8

Verificar (e). A afirmação (e) é
nS^{2}-S^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}.
O lado esquerdo é nS^{2}-S^{2}=(n-1)S^{2}. Usando a definição de S^{2} do passo 5:
(n-1)S^{2}=(n-1)\cdot\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} =\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}.
Portanto (e) é verdadeira.

Passo 9

Conclusão lógica: as opções (a), (b), (c) e (e) foram demonstradas verdadeiras. A opção (d) foi demonstrada falsa em geral (e ilustrada com exemplo numérico). Logo a única afirmação que NÃO podemos afirmar é (d).

Resposta

d)

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