Considere uma amostra com n termos \left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), onde \bar{x}, S e S^{2} representam, respectivamente, a média aritmética, o desvio padrão amostral e a variância amostral. NÃO podemos afirmar que:
a) \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)=0
b) \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n \overline{\mathrm{x}}^{2}
c) \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\frac{\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}}{n}
d) \sqrt{n} S=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}
e) n S^{2}-S^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}
Passo 1
O enunciado pede para indicar qual das afirmações (a), (b), (c), (d) ou (e) NÃO podemos afirmar, dado:
Uma amostra com n termos \left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right).
\bar{x} é a média aritmética amostral.
S é o desvio padrão amostral.
S^{2} é a variância amostral.
As opções a verificar são listadas no enunciado (a) a (e). A resolução começa a partir do próximo passo.
Passo 2
Provar que a afirmação (a) é verdadeira. Começo lembrando a definição da média amostral:
Explicar a definição de variância e desvio padrão amostral usada aqui (essencial para analisar (d) e (e)). A variância amostral S^{2} normalmente é definida como
onde n-1 é o grau de liberdade (essa é a definição de variância amostral usual, que torna S^{2} um estimador não viesado da variância da população). O desvio padrão amostral é a raiz positiva:
ou seja \dfrac{n}{n-1}=1, o que só ocorre no limite n\to\infty. Para qualquer n finito com n\ge 2 temos \dfrac{n}{n-1}>1, logo a igualdade não vale em geral. Concluímos que (d) é, em geral, falsa.
Passo 7
Dar um exemplo numérico rápido para sentir a diferença (para motivar e fixar). Tome n=3 e os dados x_{1}=0,\;x_{2}=0,\;x_{3}=3.
Calcule a média:
Conclusão lógica: as opções (a), (b), (c) e (e) foram demonstradas verdadeiras. A opção (d) foi demonstrada falsa em geral (e ilustrada com exemplo numérico). Logo a única afirmação que NÃO podemos afirmar é (d).