Pesquisadores interessados em modelar a razão na qual animais crescem têm usado o seguinte modelo y=t+\operatorname{sen} \frac{\pi t}{4}+B, onde y é a altura em \mathrm{cm}, B é a altura ao nascer, t é dado em meses.
Achar os valores máximo e mínimo da razão de crescimento, \frac{d y}{d t}, e os tempos em que elas ocorrem no primeiro ano de vida.
Seja a razão de crescimento igual a R(t)=\frac{d y}{d t}, assim:
R(t)=1+\frac{\pi}{4} \cos \left(\frac{t \pi}{4}\right)
R^{\prime}(t)=-\frac{\pi^{2}}{16} \operatorname{sen}\left(\frac{t \pi}{4}\right)
R^{\prime \prime}(t)=\frac{-\pi^{3}}{64} \cos \left(\frac{t \pi}{4}\right)
Pontos críticos:
R^{\prime}(t)=-\frac{\pi^{2}}{16} \operatorname{sen}\left(\frac{t \pi}{4}\right)=0 \Rightarrow t=4 k, k inteiro
Primeiros 12 meses: 0 \leq t \leq 12 \Rightarrow t=0,4,8 e 12
R(0)=1+\frac{\pi}{4}=1.78
R(4)=1-\frac{\pi}{4}=0.215
R(8)=1+\frac{\pi}{4}=1.78
R(12)=1-\frac{\pi}{4}=0.215
Máximo R=1.78\left(R^{\prime \prime}(0)<0\right) e mínimo R=0.215\left(R^{\prime \prime}(4)>0\right). Assim, ocorrem dois máximos e dois mínimos em 12 meses.

Passo 1

O enunciado dá o modelo
y(t)=t+\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{\pi t}{4}\Bigr)+B
e pede os valores máximo e mínimo da razão de crescimento
R(t)=\frac{dy}{dt}
no intervalo de 0 a 12 meses. Vamos usar derivadas, achar pontos críticos e avaliar R nesses pontos e nas fronteiras.

Passo 2

Derivando y(t), obtemos
R(t)=y'(t)=1+\frac{\pi}{4}\cos\!\Bigl(\frac{\pi t}{4}\Bigr).
A derivada de R é
R'(t)=-\frac{\pi^2}{16}\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{\pi t}{4}\Bigr)
e a segunda derivada
R''(t)=-\frac{\pi^3}{64}\cos\!\Bigl(\frac{\pi t}{4}\Bigr).

Passo 3

Para encontrar pontos críticos, resolvemos
R'(t)=0\quad\Longrightarrow\quad\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{\pi t}{4}\Bigr)=0
isso ocorre quando \frac{\pi t}{4}=k\pi, ou seja
t=4k,\quad k\in\mathbb{Z}.
No intervalo 0\le t\le12 temos t=0,4,8,12.

Passo 4

Avaliamo-s R(t) nesses pontos:
R(0) = 1 + \frac{\pi}{4} \approx 1,785, \quad R(4) = 1 - \frac{\pi}{4} \approx 0,215,
R(8) = 1 + \frac{\pi}{4} \approx 1,785, \quad R(12) = 1 - \frac{\pi}{4} \approx 0,215.

Passo 5

Classificação pelos sinais de R'':
em t=0, \cos(0)=1 R''(0)<0, logo máximo local;
em t=4, \cos(\pi)=-1 R''(4)>0, logo mínimo local;
em t=8, \cos(2\pi)=1 máximo local;
em t=12, \cos(3\pi)=-1 mínimo local.
Assim, os máximos globais de R são 1+\frac{\pi}{4} nos meses 0 e 8, e os mínimos globais são 1-\frac{\pi}{4} nos meses 4 e 12.

Resposta

Máximo de R:
R_{\max}=1+\frac{\pi}{4}\approx1,785\quad\text{ocorre em }t=0\text{ e }8\text{ meses.}
Mínimo de R:
R_{\min}=1-\frac{\pi}{4}\approx0,215\quad\text{ocorre em }t=4\text{ e }12\text{ meses.}

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