1. Quando uma pessoa tosse, a traquéia se contrai. Sejam r_{0} o raio da traquéia, r o raio da traquéia durante a tosse, P pressão do ar na traquéia durante a tosse e v velocidade do ar na traquéia durante a tosse. Use os seguintes princípios de fluxo de fluídos para determinar quanto a traquéia deve se contrair, ou seja, determine r, de modo que ocorra a maior velocidade de ar (condição mais favorável para limpeza de pulmões e da traquéia). \Rightarrow \mathrm{r}_{0}=r=a P, a>0 constante. Experimentalmente, observa-se que durante a tosse a diminuição do raio da traquéia é aproximadamente proporcional à pressão do ar na traquéia.
    \Rightarrow \mathrm{v}=\mathrm{bP} \pi r^{2}, b>0 constante. Pela teoria de fluídos, a velocidade do ar pela traquéia é proporcional ao produto da pressão do ar e a área da seção da traquéia. Considerar que a traquéia seja um círculo, então a área é \pi r^{2}.
    \Delta r=a P, a>0, \Delta r é a variação do raio da traquéia.
    r=r_{0}-\Delta r \Rightarrow r=r_{0}-a P
    Utilizando v=b P \pi r^{2} \Rightarrow v(r)=\frac{b}{a} r_{0} \pi r^{2}-\frac{b}{a} \pi r^{3}
    Pontos críticos de v(r) :
    v^{\prime}(r)=\frac{b}{a} r_{0} \pi 2 r-\frac{b}{a} \pi 3 r^{2}=0
    r\left(2 r_{0}-3 r\right)=0 \Rightarrow r=0 e r=\frac{2}{3} r_{0}
    Utilizando r=\frac{2}{3} r_{0} obtemos:
    v^{\prime \prime}(r)=\frac{b}{a} r_{0} \pi 2-\frac{b}{a} \pi 6 r \Rightarrow v^{\prime \prime}\left(\frac{2}{3} r_{0}\right)=-\frac{2 b r_{0} \pi}{a}<0 \Rightarrow Ponto de máximo
    Assim, em r=\frac{2}{3} r_{0} a velocidade é máxima.

Passo 1

O enunciado diz que, durante a tosse, o raio da traqueia passa de \,r_{0}\, para \,r=r_{0}-aP, com a>0, e a velocidade do ar vale \,v=bP\pi r^{2}, com b>0. Queremos achar o valor de r que torna v máxima. O conteúdo é otimização de função de uma variável usando derivadas e teste de segunda derivada.

Passo 2

Expressamos a pressão P em função de r. Como
r=r_{0}-aP,
segue
P=\frac{r_{0}-r}{a}.
Substituindo em v=bP\pi r^{2} obtemos
v(r)=b\pi r^{2}\,\frac{r_{0}-r}{a} =\frac{b\pi}{a}\bigl(r_{0}r^{2}-r^{3}\bigr).

Passo 3

Calculamos a derivada primeira e achamos os críticos:
v'(r) =\frac{b\pi}{a}\bigl(2r_{0}r-3r^{2}\bigr) =\frac{b\pi}{a}\,r\,(2r_{0}-3r).
Há soluções r=0 e
2r_{0}-3r=0 \;\Longrightarrow\; r=\frac{2}{3}r_{0}.

Passo 4

Para verificar máximo, usamos a segunda derivada:
v''(r) =\frac{b\pi}{a}\bigl(2r_{0}-6r\bigr).
Em r=\tfrac{2}{3}r_{0} vem
v''\!\bigl(\tfrac{2}{3}r_{0}\bigr) =\frac{b\pi}{a}\bigl(2r_{0}-4r_{0}\bigr) =-\frac{2b\pi r_{0}}{a}<0,
logo é ponto de máximo.

Resposta

O raio que maximiza a velocidade é
r=\frac{2}{3}\,r_{0}.

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