Pesquisas têm mostrado que a proporção
da população com QI (Quociente de Inteligência) entre
e
é aproximadamente
Use os três primeiros termos diferentes de zero de uma série de Maclaurin apropriada para estimar a proporção da população que tem QI entre 100 e 110.
Passo 1
O enunciado pede a proporção
para
e
, usando os três primeiros termos não nulos de uma série de Maclaurin. Vamos reconhecer que isso equivale a aproximar a integral da densidade normal padrão no intervalo correspondente e usar expansão em série de
.
Passo 2
Fazemos a mudança de variável
de modo que
vira
e
vira
. A integral passa a ser
A série de Maclaurin de
é
Integramos termo a termo até o quinto grau:
com
.
Passo 3
Calculamos os poderes de
:
Então
Multiplicando por
, obtemos
Resposta
A proporção aproximada da população com QI entre 100 e 110 é