Pesquisas têm mostrado que a proporção p da população com QI (Quociente de Inteligência) entre \alpha e \beta é aproximadamente
p=\frac{1}{16 \sqrt{2 \pi}} \int_{\alpha}^{\beta} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-100}{16}\right)^{2}} d x
Use os três primeiros termos diferentes de zero de uma série de Maclaurin apropriada para estimar a proporção da população que tem QI entre 100 e 110.

Passo 1

O enunciado pede a proporção
p=\frac{1}{16\sqrt{2\pi}}\int_{\alpha}^{\beta}e^{-\tfrac12\bigl(\tfrac{x-100}{16}\bigr)^{2}}\,dx
para \alpha=100 e \beta=110, usando os três primeiros termos não nulos de uma série de Maclaurin. Vamos reconhecer que isso equivale a aproximar a integral da densidade normal padrão no intervalo correspondente e usar expansão em série de e^{-t^{2}/2}.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t = \frac{x-100}{16},
de modo que x=100 vira t=0 e x=110 vira t=\tfrac{110-100}{16}=0{,}625. A integral passa a ser
p=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{0{,}625}e^{-t^{2}/2}\,dt.
A série de Maclaurin de e^{-t^{2}/2} é
e^{-t^{2}/2} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{n}n!}\,t^{2n} =1-\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{4}}{8}-\cdots.
Integramos termo a termo até o quinto grau:
\int_{0}^{a}e^{-t^{2}/2}\,dt \approx\int_{0}^{a}\Bigl(1-\tfrac{t^{2}}{2}+\tfrac{t^{4}}{8}\Bigr)\,dt =a-\frac{a^{3}}{6}+\frac{a^{5}}{40},
com a=0{,}625.

Passo 3

Calculamos os poderes de a:
a=0{,}625,\quad a^{3}=0{,}625^{3}=0{,}244140625,\quad a^{5}=0{,}625^{5}=0{,}0953674316.
Então
a-\frac{a^{3}}{6}+\frac{a^{5}}{40} =0{,}625-\frac{0{,}244140625}{6}+\frac{0{,}0953674316}{40} \approx0{,}58669408.
Multiplicando por 1/\sqrt{2\pi}\approx0{,}39894228, obtemos
p\approx0{,}39894228\times0{,}58669408\approx0{,}2341.

Resposta

A proporção aproximada da população com QI entre 100 e 110 é
p\approx0{,}2341\quad(\text{ou }23{,}41\%).

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