Pesquise definições de:
sistema homogêneo e heterogêneo;

Passo 1

O enunciado pede as definições de sistema homogêneo e sistema heterogêneo no contexto de sistemas lineares. Para isso, vamos usar a forma matricial
A\mathbf{x}=\mathbf{b},
onde A é a matriz dos coeficientes, \mathbf{x} é o vetor de incógnitas e \mathbf{b} é o vetor dos termos constantes.

Passo 2

Um sistema homogêneo é aquele em que todos os termos independentes são zero. Em forma matricial:
A\mathbf{x}=\mathbf{0}.
Nesse caso, o vetor dos termos constantes é \mathbf{b}=\mathbf{0}. Propriedades principais:
  1. Sempre admite a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}.
  2. Pode ter infinitas soluções se as colunas de A forem linearmente dependentes.

Passo 3

Um sistema heterogêneo é aquele em que o vetor dos termos constantes não é o vetor nulo:
A\mathbf{x}=\mathbf{b},\quad \mathbf{b}\neq\mathbf{0}.
Nesse caso, além da possível existência da solução trivial (que aqui não satisfaz o sistema), as soluções podem ser
  • única, quando A é invertível,
  • nenhuma, quando \mathbf{b} não pertence ao espaço coluna de A,
  • ou infinitas, quando A não é de posto máximo mas \mathbf{b} está no espaço coluna de A.

Resposta

Sistema homogêneo:
A\mathbf{x}=\mathbf{0},
com \mathbf{b}=\mathbf{0}, sempre tem a solução trivial.
Sistema heterogêneo:
A\mathbf{x}=\mathbf{b},\quad \mathbf{b}\neq\mathbf{0},
pode ter solução única, nenhuma ou infinitas, dependendo de A e de \mathbf{b}.

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