Questão 2: Numa indústria química, a água deve ser resfriada de 60^{\circ} \mathrm{C} até 50^{\circ} \mathrm{C}, escoando em um tubo cilíndrico de aço, na velocidade de 1,50 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Do lado de fora do tubo, o ar escoa em escoamento cruzado ao cilindro a 10^{\circ} \mathrm{C} na velocidade de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Os dados da tubulação de aço estāo apresentados na Tabela 2 a seguir. Determine o comprimento da tubulação.
Table 1: Tabela 2: Dados da Tubulação de Aço
\captionsetup{labelformat=empty}
Diâmetro
interno (in)
Espessura da
Parede (in)
\mathrm{K}(\mathrm{W} / \mathrm{m} . \mathrm{K})
5,047 0,25 15,10

Passo 1

O enunciado pede o comprimento L de um tubo cilíndrico de aço pelo qual passa água que se resfria de 60^{\circ}\mathrm{C} a 50^{\circ}\mathrm{C}, com velocidade interna de 1,50,cm/s, enquanto o ar exterior, a 10^{\circ}\mathrm{C}, escoa em escoamento cruzado a 20,m/s. Os dados geométricos do tubo são diâmetro interno \,D_i=5,047,in e espessura t=0,25,in, com condutividade térmica do aço k_s=15{,}10,W/ m\cdot K.
Conteúdo: transferência de calor por convecção interna e externa em regime permanente, resistência térmica em série e método do LMTD.

Passo 2

Converto unidades e calculo a vazão mássica da água.
Diâmetro interno em metros:
D_i = 5{,}047\text{ in}\times0{,}0254\frac{\text{m}}{\text{in}} = 0{,}1282\text{ m}.
Velocidade interna: V_i = 1{,}50,cm/s = 0{,}0150,m/s.
Área da seção interna:
A_i = \frac{\pi D_i^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}1282)^2}{4} = 0{,}01292\text{ m}^2.
Adotando densidade da água em média \rho = 985,kg/m ^3, a vazão mássica é
\dot m = \rho\,A_i\,V_i = 985\times0{,}01292\times0{,}0150 = 0{,}191\text{ kg/s}.

Passo 3

Calculo o coeficiente de convecção interna \,h_i.
Propriedades da água a T_{\rm film}\approx55^{\circ}\mathrm{C}:
cinemática \nu=5{,}53\times10^{-7},m ^2/s, Prandtl \mathrm{Pr}=3{,}57, condutividade k=0{,}64,W/ m\cdot K.
Número de Reynolds interno:
\mathrm{Re}_i = \frac{D_i\,V_i}{\nu} = \frac{0{,}1282\times0{,}0150}{5{,}53\times10^{-7}} \approx3{,}48\times10^3.
Como está na região turbulenta-fronteira, uso Dittus–Boelter:
\mathrm{Nu}_i = 0,023\,\mathrm{Re}_i^{0,8}\,\mathrm{Pr}^{0,4} \approx0,023\,(3{,}48\times10^3)^{0,8}\,(3{,}57)^{0,4} =26{,}1.
Logo
h_i = \frac{\mathrm{Nu}_i\,k}{D_i} = \frac{26{,}1\times0{,}64}{0{,}1282} \approx130{,}6\\ \mathrm{W/(m^2K)}.

Passo 4

Calculo o coeficiente de convecção externa \,h_o.
Propriedades do ar a T_{\rm film}\approx30^{\circ}\mathrm{C}: \nu=1{,}57\times10^{-5},m ^2/s, \mathrm{Pr}=0{,}707, k=0{,}0263,W/ m\cdot K.
Reynolds em escoamento cruzado sobre cilindro:
\mathrm{Re}_D = \frac{V_\infty\,D_i}{\nu} = \frac{20\times0{,}1282}{1{,}57\times10^{-5}} \approx1{,}63\times10^5.
Uso a correlação de Churchill–Bernstein para cilindro em crossflow:
\mathrm{Nu}_D = 0,3 + \frac{0,62\,\mathrm{Re}_D^{0,5}\,\mathrm{Pr}^{0,33}} {\bigl[1+(0,4/\mathrm{Pr})^{0,67}\bigr]^{0,25}} \Bigl[1+(\mathrm{Re}_D/2{,}82\times10^5)^{0,625}\Bigr]^{0,8} \approx301{,}9.
Então
h_o = \frac{\mathrm{Nu}_D\,k}{D_i} = \frac{301{,}9\times0{,}0263}{0{,}1282} \approx61{,}9\\ \mathrm{W/(m^2K)}.

Passo 5

Montei as resistências térmicas por metro de comprimento:
tubo externo D_o = D_i + 2\,t = 0{,}1282 +2\times0{,}00635 =0{,}1409,m.
Resistência conv. interna por metro:
R_{i}' = \frac{1}{h_i\,\pi\,D_i} = \frac{1}{130{,}6\,\pi\,0{,}1282} =0{,}01901\\ \mathrm{K/(W/m)}.
Resistência na parede (condução) por metro:
R_{c}' = \frac{\ln(D_o/D_i)}{2\pi\,k_s} = \frac{\ln(0{,}1409/0{,}1282)}{2\pi\,15{,}1} =0{,}00099\\ \mathrm{K/(W/m)}.
Resistência conv. externa por metro:
R_{o}' = \frac{1}{h_o\,\pi\,D_o} = \frac{1}{61{,}9\,\pi\,0{,}1409} =0{,}03648\\ \mathrm{K/(W/m)}.
Somando
R_{\rm tot}' = R_{i}' + R_{c}' + R_{o}' =0{,}01901 +0{,}00099 +0{,}03648 =0{,}05648\\ \mathrm{K/(W/m)}.

Passo 6

Calculo a carga térmica Q usando a água:
Q = \dot m\,c_p\,\Delta T =0{,}191\\ (\mathrm{kg/s})\times4180\\ (\mathrm{J/kgK})\times(60-50) =7{,}985\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Determino o LMTD:
\Delta T_1 = 60 - 10 =50\,,\quad \Delta T_2 = 50 - 10 =40,
\Delta T_{\rm lm} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln(\Delta T_1/\Delta T_2)} = \frac{50 - 40}{\ln(50/40)} =44{,}82\\ ^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 8

Uso Q = \displaystyle\frac{L}{R_{\rm tot}'}\,\Delta T_{\rm lm}. Logo
L = \frac{Q\,R_{\rm tot}'}{\Delta T_{\rm lm}} = \frac{7{,}985\times0{,}05648}{44{,}82} \approx10{,}06\\ \mathrm{m}.

Resposta

O comprimento necessário da tubulação é aproximadamente 10{,}1,m.

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