Uma pessoa deposita R \ 2.000,00 em uma conta poupança a uma taxa de juro composto deç10 %$ ao ano, considerando que não foi feito nenhum depósito e nenhum saque nesse intervalo de tempo, qual será o saldo dessa conta após um período de três anos? Em quanto tempo a quantia depositada terá seu valor dobrado?

Passo 1

O enunciado diz que uma pessoa aplica P = R\$2.000,00 numa conta-poupança com juros compostos à taxa de i = 10\% ao ano, sem depósitos ou saques intermediários. Vamos usar a fórmula de montante em juros compostos
A = P\,(1 + i)^n
para (a) calcular o saldo após n=3 anos e (b) determinar o tempo n para que A = 2P (duplicar o capital).

Passo 2

Para achar o saldo após três anos substituímos P, i e n na fórmula:
A_3 = 2000 \,\bigl(1 + 0,10\bigr)^{3} \;=\; 2000 \times 1,10^3.
Calculando 1,10^3 = 1,331, obtemos
A_3 = 2000 \times 1,331 = 2662.

Passo 3

Para saber em que tempo n o montante dobra, impomos
P\,(1 + i)^n = 2P
que simplifica para
(1,10)^n = 2.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
n = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}10}.

Passo 4

Agora calculamos numericamente
n = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}10} \approx \frac{0,6931}{0,0953} \approx 7,27\\ \text{anos}.
Em meses, 0,27 ano corresponde a 0,27\times12\approx3,3 meses, ou seja, cerca de 7 anos e 3 meses.

Resposta

O saldo após três anos será aproximadamente R\$2.662,00.
A aplicação duplica em cerca de 7,27 anos (aproximadamente 7 anos e 3 meses).

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