Um circuito R L com um resistor de 1 \Omega e um indutor de 0.01 H é alimentado por uma tensão E(t)=\operatorname{sen}(100 t) V. Se a corrente inicial no indutor é zero, determine corrente i. Resp: i(t)=\frac{1}{2}\left(\operatorname{sen}(100 t)-\cos (100 t)+e^{-100 t}\right)

Passo 1

O enunciado descreve um circuito RL com resistor R=1\\ \Omega e indutor L=0,01\\ \mathrm{H}, alimentado por
E(t)=\sin(100t)\\ \mathrm{V},
e corrente inicial i(0)=0.
Queremos encontrar i(t) resolvendo a equação diferencial de primeira ordem pelo método dos regimes natural e forçado.

Passo 2

Pela lei de Kirchhoff de tensões temos
L\,\frac{di}{dt}+R\,i=E(t).
Substituindo L=0,01 e R=1 e dividindo tudo por L, fica
\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}\,i=\frac{1}{L}\sin(100t) \quad\Longrightarrow\quad \frac{di}{dt}+100\,i=100\,\sin(100t).

Passo 3

O regime natural (solução homogênea) satisfaz
\frac{di_h}{dt}+100\,i_h=0
cuja solução é
i_h(t)=K\,e^{-100t},
onde K é constante a determinar pela condição inicial.

Passo 4

Para o regime forçado (solução particular), assumimos
i_p(t)=A\sin(100t)+B\cos(100t).
Calculamos
\frac{di_p}{dt}=100A\cos(100t)-100B\sin(100t),
e substituímos em \frac{di}{dt}+100i=100\sin(100t):
100A\cos(100t)-100B\sin(100t)+100\bigl(A\sin(100t)+B\cos(100t)\bigr) =100\sin(100t).
Agrupando termos:
\bigl(100A+100B\bigr)\cos(100t) +\bigl(100A-100B\bigr)\sin(100t) =100\sin(100t).
Logo
100A+100B=0, \quad 100A-100B=100.
Dessa forma
A+B=0, \quad A-B=1 \quad\Longrightarrow\quad A=\tfrac12,\;B=-\tfrac12.
Portanto
i_p(t)=\tfrac12\sin(100t)-\tfrac12\cos(100t).

Passo 5

A solução geral é
i(t)=i_h(t)+i_p(t) =K\,e^{-100t}+\tfrac12\sin(100t)-\tfrac12\cos(100t).
Usando i(0)=0
0=K+0-\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad K=\tfrac12.

Passo 6

Assim a corrente buscada é
i(t) =\tfrac12\,e^{-100t} +\tfrac12\sin(100t) -\tfrac12\cos(100t) =\tfrac12\bigl(\sin(100t)-\cos(100t)+e^{-100t}\bigr).

Resposta

i(t)=\tfrac12\bigl(\sin(100t)-\cos(100t)+e^{-100t}\bigr).

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