Uma pessoa deve atualmente 18 prestações mensais de
2.200,00$ cada uma. Com o intuito de adequar esses desembolsos mensais com suas disponibilidades de caixa, está propondo ao cre-
dor a transformação deste fluxo numa série de 8 pagamentos trimestrais, iguais e sucessivos. Para uma taxa de juros de
a.m., determinar o valor de cada prestação trimestral que está sendo proposta.
dor a transformação deste fluxo numa série de 8 pagamentos trimestrais, iguais e sucessivos. Para uma taxa de juros de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Informações dadas:
- Série mensal: são
prestações mensais de cada, pagas no final de cada mês (assumimos prestação em atraso, i.e., primeira em 1 mês, última em 18 meses). - Taxa de juros:
ao mês, ou seja . - Proposta: transformar esse fluxo numa série de
pagamentos trimestrais iguais e sucessivos (pagos no final de cada trimestre: meses ).
- Série mensal: são
- O que o enunciado pede:
- Determinar o valor de cada prestação trimestral (o valor único e constante das 8 prestações) que torna os dois fluxos equivalentes à taxa fornecida.
Passo 2
Estratégia de equivalência (ideia principal que vamos usar, explicada passo a passo):
- Para transformar um fluxo por outro sem perda, igualamos os valores presentes (PV) dos dois fluxos no mesmo instante (aqui: tempo
, “hoje”). - Calcularemos o valor presente da anuidade mensal de
prestações a . - Depois encontraremos a anuidade trimestral (valor
) cujo valor presente, calculado usando a taxa efetiva por trimestre, seja igual ao PV mensal.
Agora explico a fórmula do valor presente de uma anuidade imediata (pagamentos no final de cada período):
onde:
-
= valor da prestação (mesmo a cada período), -
= taxa por período, -
= número de prestações, -
é o fator de desconto para períodos.
Essa fórmula vem da soma geométrica dos descontos dos
pagamentos.
Passo 3
Cálculo do valor presente do fluxo mensal (série de
pagamentos mensais de
) usando
.
Aplicando a fórmula com
,
,
:
Vamos calcular os fatores numéricos com cuidado (multiplicações passo a passo):
- Primeiro calculamos
. Fazendo as potências successivas obtemos
- Portanto
.
Substituindo:
Logo, o valor presente hoje das
prestações mensais é aproximadamente
.
Passo 4
Cálculo da taxa efetiva trimestral e da fórmula para o fluxo trimestral.
- A taxa mensal é
. A taxa efetiva por trimestre (3 meses) é
Ou seja
por trimestre.
- Para as
prestações trimestrais iguais de valor , o valor presente (no tempo ) é
Passo 5
Igualando os valores presentes e resolvendo para
.
Queremos
. Assim:
Calculamos o fator do lado direito:
-
. Calculando obtemos aproximadamente , logo
- Então o numerador fica
. - E
.
O fator anuidade trimestral é
Portanto
Passo 6
Interpretação e checagem rápida (sanidade):
- O resultado significa que pagando
prestações trimestrais de aproximadamente cada, o valor presente hoje desse novo fluxo é aproximadamente igual ao valor presente das prestações mensais de cada, à taxa dada. - Faz sentido: o pagamento trimestral é maior (porque cada parcela cobre 3 meses de obrigações e há menos parcelas), e o total nominal pago (8×5409,93 ≈ 43.279,44) é maior que o total nominal mensal (18×2200 = 39.600) porque há mais tempo e juros incidentes — mas os valores presentes coincidem.