Uma pessoa deve atualmente 18 prestações mensais de \ 2.200,00$ cada uma. Com o intuito de adequar esses desembolsos mensais com suas disponibilidades de caixa, está propondo ao cre-
dor a transformação deste fluxo numa série de 8 pagamentos trimestrais, iguais e sucessivos. Para uma taxa de juros de 2,4 \% a.m., determinar o valor de cada prestação trimestral que está sendo proposta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Informações dadas:
    • Série mensal: são 18 prestações mensais de \$2.200{,}00 cada, pagas no final de cada mês (assumimos prestação em atraso, i.e., primeira em 1 mês, última em 18 meses).
    • Taxa de juros: \,2{,}4\% ao mês, ou seja i_{m}=0{,}024.
    • Proposta: transformar esse fluxo numa série de 8 pagamentos trimestrais iguais e sucessivos (pagos no final de cada trimestre: meses 3,6,\dots,24).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o valor de cada prestação trimestral (o valor único e constante das 8 prestações) que torna os dois fluxos equivalentes à taxa fornecida.

Passo 2

Estratégia de equivalência (ideia principal que vamos usar, explicada passo a passo):
  • Para transformar um fluxo por outro sem perda, igualamos os valores presentes (PV) dos dois fluxos no mesmo instante (aqui: tempo 0, “hoje”).
  • Calcularemos o valor presente da anuidade mensal de 18 prestações a i_{m}=0{,}024.
  • Depois encontraremos a anuidade trimestral (valor X) cujo valor presente, calculado usando a taxa efetiva por trimestre, seja igual ao PV mensal.
Agora explico a fórmula do valor presente de uma anuidade imediata (pagamentos no final de cada período):
\text{PV} = R \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i},
onde:
  • R = valor da prestação (mesmo a cada período),
  • i = taxa por período,
  • n = número de prestações,
  • (1+i)^{-n} é o fator de desconto para n períodos.
Essa fórmula vem da soma geométrica dos descontos dos n pagamentos.

Passo 3

Cálculo do valor presente do fluxo mensal (série de 18 pagamentos mensais de \$2.200{,}00) usando i_{m}=0{,}024.
Aplicando a fórmula com R=2200, i=0{,}024, n=18:
\text{PV}_{\text{mensal}} = 2200\cdot\frac{1-(1+0{,}024)^{-18}}{0{,}024}.
Vamos calcular os fatores numéricos com cuidado (multiplicações passo a passo):
  • Primeiro calculamos (1+0{,}024)^{18}. Fazendo as potências successivas obtemos
(1{,}024)^{18}\approx 1{,}532495540866349234.
  • Portanto (1+0{,}024)^{-18}=\dfrac{1}{1{,}532495540866349234}\approx 0{,}652524.
Substituindo:
\text{PV}_{\text{mensal}} = 2200\cdot\frac{1-0{,}652524}{0{,}024} =2200\cdot\frac{0{,}347476}{0{,}024} \approx 2200\cdot 14{,}4781667 \approx 31\,851{,}9637.
Logo, o valor presente hoje das 18 prestações mensais é aproximadamente \$31\,851{,}96.

Passo 4

Cálculo da taxa efetiva trimestral e da fórmula para o fluxo trimestral.
  • A taxa mensal é i_{m}=0{,}024. A taxa efetiva por trimestre (3 meses) é
i_{t}=(1+i_{m})^{3}-1=(1{,}024)^{3}-1\approx 1{,}073741824-1=0{,}073741824.
Ou seja i_{t}\approx 7{,}3741824\% por trimestre.
  • Para as 8 prestações trimestrais iguais de valor X, o valor presente (no tempo 0) é
\text{PV}_{\text{trimestral}} = X\cdot\frac{1-(1+i_{t})^{-8}}{i_{t}}.

Passo 5

Igualando os valores presentes e resolvendo para X.
Queremos \text{PV}_{\text{mensal}}=\text{PV}_{\text{trimestral}}. Assim:
31\,851{,}9637 \approx X\cdot\frac{1-(1+i_{t})^{-8}}{i_{t}}.
Calculamos o fator do lado direito:
  • (1+i_{t})^{-8}=(1{,}073741824)^{-8}=(1{,}024)^{-24}. Calculando (1{,}024)^{24} obtemos aproximadamente 1{,}766847066, logo
(1+i_{t})^{-8}\approx \frac{1}{1{,}766847066}\approx 0{,}565830.
  • Então o numerador fica 1-0{,}565830\approx 0{,}434170.
  • E i_{t}=0{,}073741824.
O fator anuidade trimestral é
\frac{1-(1+i_{t})^{-8}}{i_{t}}\approx\frac{0{,}434170}{0{,}073741824}\approx 5{,}88769.
Portanto
X \approx \frac{31\,851{,}9637}{5{,}88769}\approx 5\,409{,}93.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida (sanidade):
  • O resultado significa que pagando 8 prestações trimestrais de aproximadamente \$5.409{,}93 cada, o valor presente hoje desse novo fluxo é aproximadamente igual ao valor presente das 18 prestações mensais de \$2.200{,}00 cada, à taxa dada.
  • Faz sentido: o pagamento trimestral é maior (porque cada parcela cobre 3 meses de obrigações e há menos parcelas), e o total nominal pago (8×5409,93 ≈ 43.279,44) é maior que o total nominal mensal (18×2200 = 39.600) porque há mais tempo e juros incidentes — mas os valores presentes coincidem.

Resposta

\$5.409,93

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