Um financiamento no valor de \ 70.000,00 está sendo concedido a uma taxa de juros deá4 %$ a.m. O prazo da operação é de 12 meses, e as alternativas de pagamento da dívida apresentadas são as seguintes: Calcular o valor das prestações para cada proposta de pagamento.
07 pagamentos mensais, iguais, com carência de 5 meses;

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:

O enunciado pede: calcular o valor das prestações para a proposta que consiste em 7 pagamentos mensais iguais, com carência de 5 meses (ou seja, não se paga nada nos primeiros 5 meses; as 7 prestações ocorrem nos meses 6,7,\dots,12).

Dados fornecidos:
  • Valor financiado (capital): P = \$\,70.000,00.
  • Taxa de juros: i = 4\% ao mês, isto é, i = 0{,}04.
  • Prazo total da operação: 12 meses (mas, por conta da carência, os pagamentos são 7, iniciando no mês 6).

    Não se faz nenhum pagamento nos meses 1 a 5; a dívida acumula juros nesse período e depois é paga em 7 prestações iguais mensais.

Passo 2

Entendendo o raciocínio financeiro (conceito que vamos usar)

Quando há carência, os juros incididos nos meses sem pagamento são capitalizados: o saldo devedor ao fim da carência é o capital inicial multiplicado por (1+i)^{m}, onde m é o número de meses de carência. Depois disso, esse saldo devedor será pago por uma série de prestações iguais (uma anuidade). Para uma anuidade de n prestações com taxa i, o fator de valor presente (anuidade-imediata) é
a_{\overline{n}|i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i},
onde a_{\overline{n}|i} significa “valor presente de n pagamentos de 1 unidade cada, começando um período após o momento de referência”.

No nosso caso:
  • calculamos o saldo devedor ao final da carência de 5 meses: S_{5}=P(1+i)^{5};
  • esse S_{5} será igual ao valor presente (no tempo 5) das 7 prestações iguais R, ou seja S_{5}=R\cdot a_{\overline{7}|i}.

    Logo, a prestação R satisfaz
R=\frac{S_{5}}{a_{\overline{7}|i}}=\frac{P(1+i)^{5}}{a_{\overline{7}|i}}.

Passo 3

Cálculo do saldo ao fim da carência (valorização do capital durante 5 meses)

Primeiro calculamos (1+i)^{5} com i=0{,}04:
1{,}04^{2}=1{,}0816,
1{,}04^{3}=1{,}0816\times1{,}04=1{,}124864,
1{,}04^{4}=1{,}124864\times1{,}04=1{,}16985856,
1{,}04^{5}=1{,}16985856\times1{,}04=1{,}2166529024.

Saldo ao fim da carência:
S_{5}=P(1+i)^{5}=70000\times1{,}2166529024=\$\,85.165{,}703168.

Passo 4

Fórmula da anuidade (valor presente das 7 prestações) e organização da equação para R

O fator da anuidade de n=7 parcelas a taxa i é
a_{\overline{7}|i}=\frac{1-(1+i)^{-7}}{i}.

Portanto
R=\frac{S_{5}}{a_{\overline{7}|i}}=\frac{70000(1{,}04)^{5}}{\dfrac{1-(1{,}04)^{-7}}{0{,}04}}.

Outra forma algébrica útil (às vezes mais direta para cálculo) é:
R=\frac{P\cdot i\cdot(1+i)^{5}}{1-(1+i)^{-7}},
que vem de manipular a expressão anterior multiplicando numerador e denominador por i.

Passo 5

Cálculo numérico do fator a_{\overline{7}|i}

Calculamos (1{,}04)^{7} passo a passo (usando o valor de 1{,}04^{5} já obtido):
1{,}04^{6}=1{,}04^{5}\times1{,}04=1{,}2166529024\times1{,}04=1{,}265319018496,
1{,}04^{7}=1{,}265319018496\times1{,}04=1{,}31593177923584.

Então
(1{,}04)^{-7}=\frac{1}{1{,}31593177923584}\approx0{,}759917800764.

Logo
1-(1{,}04)^{-7}\approx1-0{,}759917800764=0{,}240082199236,
e
a_{\overline{7}|0{,}04}=\frac{0{,}240082199236}{0{,}04}\approx6{,}0020549809.

Passo 6

Cálculo da prestação R (colocando os números)

Usando S_{5}=\$\,85.165{,}703168 e a_{\overline{7}|0{,}04}\approx6{,}0020549809,
R=\frac{85.165{,}703168}{6{,}0020549809}\approx\$\,14.189{,}425.

Arredondando para centavos:
R\approx\$\,14.189{,}43.

Passo 7

Interpretação rápida e dica para a prova

O resultado significa que, após os 5 meses de carência (nos quais a dívida cresceu devido aos juros), o mutuário paga 7 prestações mensais iguais de aproximadamente \$\,14.189{,}43 nos meses 6 a 12, de modo a quitar totalmente o financiamento. Dica prática: ao fazer esse tipo de questão na prova, calcule sempre o saldo após a carência e depois aplique o fator de anuidade para achar a prestação — é um procedimento mecânico e seguro.

Resposta

$,14.189{,}43

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