Uma pessoa observa a água sair através de uma mangueira. Ao colocar o dedo no local de saída da água, percebe o alcance igual a
. Para alterar o alcance, a pessoa reduz o diâmetro de saída em
. Durante as alterações, a altura da mangueira não se altera. Qual o novo alcance da água?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Dado: o alcance horizontal da água, após a pessoa colocar o dedo na saída, é
. - Dado: a pessoa reduz o diâmetro de saída em
(ou seja, o novo diâmetro é do original). - Dado: a altura da mangueira não se altera durante a alteração.
- Pedido: determinar o novo alcance da água após a redução do diâmetro.
Passo 2
Entendimento físico básico do alcance de um jato horizontal (passo didático e necessário).
Quando a água sai horizontalmente com velocidade de saída
de uma altura fixa
, a componente horizontal da velocidade permanece
(desprezando resistência do ar). O tempo que um elemento de água leva para cair até o chão depende só de
e da gravidade
. Esse tempo de queda é
Como a velocidade horizontal é constante, o alcance horizontal
vale
Como a altura
não muda (dado do enunciado), o fator
é constante. Portanto, para esta situação vale a relação simples
ou seja, o alcance é proporcional à velocidade de saída.
(Resumo prático: se a velocidade de saída aumenta em certo fator, o alcance aumenta pelo mesmo fator.)
Passo 3
Relação entre velocidade de saída e área da seção do bocal (continuidade), com explicação didática.
Para um fluido incompressível, a vazão volumétrica
é dada por
onde
é a área da seção de saída e
é a velocidade de saída. Aqui eu faço a hipótese física razoável (normal em exercícios deste tipo): durante a alteração do diâmetro a vazão fornecida pela mangueira se mantém aproximadamente constante (a fonte de água/pump mantém o mesmo débito). Sob essa hipótese,
é constante, logo
Assim, a razão entre as velocidades antes e depois da alteração é igual à razão inversa entre as áreas:
Passo 4
Ligando diâmetro à área e calculando a razão das áreas.
A área da seção circular depende do diâmetro como
logo
é proporcional a
. Se o diâmetro é reduzido em
, então o novo diâmetro é
Portanto a razão das áreas é
Assim
(Explicando de forma concreta: reduzir o diâmetro em
deixa a área em
do original, então a velocidade aumenta em
vezes, se a vazão for constante.)
Passo 5
Calcular o novo alcance usando que
.
Como
é proporcional a
e a razão das velocidades é
, a razão dos alcances é a mesma:
Com
temos
Fazendo a conta: