Uma pessoa observa a água sair através de uma mangueira. Ao colocar o dedo no local de saída da água, percebe o alcance igual a 2,4 \mathrm{~m}. Para alterar o alcance, a pessoa reduz o diâmetro de saída em 20 \%. Durante as alterações, a altura da mangueira não se altera. Qual o novo alcance da água?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dado: o alcance horizontal da água, após a pessoa colocar o dedo na saída, é 2,4\\ \mathrm{m}.
  • Dado: a pessoa reduz o diâmetro de saída em 20\% (ou seja, o novo diâmetro é 80\% do original).
  • Dado: a altura da mangueira não se altera durante a alteração.
  • Pedido: determinar o novo alcance da água após a redução do diâmetro.

Passo 2

Entendimento físico básico do alcance de um jato horizontal (passo didático e necessário).
Quando a água sai horizontalmente com velocidade de saída v de uma altura fixa h, a componente horizontal da velocidade permanece v (desprezando resistência do ar). O tempo que um elemento de água leva para cair até o chão depende só de h e da gravidade g. Esse tempo de queda é
t=\sqrt{\frac{2h}{g}}.
Como a velocidade horizontal é constante, o alcance horizontal R vale
R = v \, t = v \sqrt{\frac{2h}{g}}.
Como a altura h não muda (dado do enunciado), o fator \sqrt{2h/g} é constante. Portanto, para esta situação vale a relação simples
R \propto v,
ou seja, o alcance é proporcional à velocidade de saída.
(Resumo prático: se a velocidade de saída aumenta em certo fator, o alcance aumenta pelo mesmo fator.)

Passo 3

Relação entre velocidade de saída e área da seção do bocal (continuidade), com explicação didática.
Para um fluido incompressível, a vazão volumétrica Q é dada por
Q = A v,
onde A é a área da seção de saída e v é a velocidade de saída. Aqui eu faço a hipótese física razoável (normal em exercícios deste tipo): durante a alteração do diâmetro a vazão fornecida pela mangueira se mantém aproximadamente constante (a fonte de água/pump mantém o mesmo débito). Sob essa hipótese, Q é constante, logo
v \propto \frac{1}{A}.
Assim, a razão entre as velocidades antes e depois da alteração é igual à razão inversa entre as áreas:
\frac{v_2}{v_1}=\frac{A_1}{A_2}.

Passo 4

Ligando diâmetro à área e calculando a razão das áreas.
A área da seção circular depende do diâmetro como
A = \frac{\pi d^2}{4},
logo A é proporcional a d^2. Se o diâmetro é reduzido em 20\%, então o novo diâmetro é
d_2 = 0{,}8\, d_1.
Portanto a razão das áreas é
\frac{A_2}{A_1}=\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2 = 0{,}8^2 = 0{,}64.
Assim
\frac{v_2}{v_1}=\frac{A_1}{A_2}=\frac{1}{0{,}64}=\frac{25}{16}=1{,}5625.
(Explicando de forma concreta: reduzir o diâmetro em 20\% deixa a área em 64\% do original, então a velocidade aumenta em 1/0{,}64\approx1{,}5625 vezes, se a vazão for constante.)

Passo 5

Calcular o novo alcance usando que R\propto v.
Como R é proporcional a v e a razão das velocidades é 1{,}5625, a razão dos alcances é a mesma:
\frac{R_2}{R_1}=\frac{v_2}{v_1}=1{,}5625.
Com R_1=2{,}4\\ \mathrm{m} temos
R_2 = R_1 \cdot 1{,}5625 = 2{,}4 \times \frac{25}{16}.
Fazendo a conta:
2{,}4 \times \frac{25}{16} = \frac{2{,}4}{16}\times 25 = 0{,}15 \times 25 = 3{,}75.

Resposta

3{,}75\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados