Utilizando o teorema da convolução, resolva:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com condições iniciais
Informações relevantes fornecidas:
- Força externa é o delta de Dirac centrado em
: . - Condições iniciais em
. - A equação é linear com coeficientes constantes de segunda ordem.
A partir daqui vamos construir a solução passo a passo.
Passo 2
Estratégia (explicada didaticamente, sem pular etapas):
- Por linearidade, a solução total pode ser escrita como soma de duas partes:
- a solução da equação homogênea que satisfaz as condições iniciais (ou seja, a resposta livre do sistema), que chamarei de
; - a resposta forçada pelo termo
com condições iniciais nulas, que é a convolução da resposta ao impulso com o forçamento .
- a solução da equação homogênea que satisfaz as condições iniciais (ou seja, a resposta livre do sistema), que chamarei de
- Definição útil: a resposta ao impulso
é a solução de com condições iniciais e . - Teorema da convolução (no contexto de Laplace): se
é a transformada de Laplace de e é a transformada de , para condições iniciais nulas temos e, no tempo, - Aplicação direta ao nosso caso: como o forçamento é
, a convolução com reduz-se a um deslocamento: onde é a função degrau unitário. Portanto a solução total será
Passo 3
Calcular
- A equação característica é
que fatoriza como logo as raízes são e . - A solução geral homogênea é
- Impondo as condições iniciais:
e - Resolver o sistema
multiplicando a primeira por . Somando com a segunda equação: Então . - Portanto
]
Passo 4
Encontrar a resposta ao impulso
usando transformada de Laplace (a abordagem é padrão e dá a função
usada na convolução).
- Tomando Laplace da equação para
(condições iniciais nulas), obtemos - Fatorando o denominador:
- Fazendo frações parciais:
Resolving: Substituindo dá . Substituindo dá . - Logo
Tomando transformada inversa: - Observação prática:
(pois ), e , fato que será útil para verificar o salto da derivada causado pelo delta.
Passo 5
Aplicar a convolução com
A integral “puxa” o valor em
, ficando (lembrando que o integrando existe apenas quando
):
ou, de forma compacta,
- Substituindo (h] já encontrada:
]
Passo 6
Escrever a solução total juntando a resposta livre
com a resposta forçada (convolução).
- Portanto a solução da ED com as condições iniciais dadas é
- Substituindo as expressões:
- Podemos também escrever em forma peça-por-peça para ficar claro:
]
Passo 7
Verificação rápida (check intuitivo da propriedade do delta):
- A solução é contínua em
porque , então . - A derivada tem salto em
igual a , que é consistente com integrar a equação em torno de : ao integrar de a obtemos o salto na derivada igual a . - Esses pontos confirmam que a forma final está coerente com a presença do impulso em
.