Utilizando o teorema da convolução, resolva:
y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+6 y=\delta(t-3) ; \quad y(0)=1_{*} \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''+5y'+6y=\delta(t-3),
com condições iniciais
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • Força externa é o delta de Dirac centrado em t=3: \delta(t-3).
  • Condições iniciais em t=0.
  • A equação é linear com coeficientes constantes de segunda ordem.
    A partir daqui vamos construir a solução passo a passo.

Passo 2

Estratégia (explicada didaticamente, sem pular etapas):
  • Por linearidade, a solução total pode ser escrita como soma de duas partes:
    1. a solução da equação homogênea que satisfaz as condições iniciais (ou seja, a resposta livre do sistema), que chamarei de y_h(t);
    2. a resposta forçada pelo termo \delta(t-3) com condições iniciais nulas, que é a convolução da resposta ao impulso h(t) com o forçamento \delta(t-3).
  • Definição útil: a resposta ao impulso h(t) é a solução de h''+5h'+6h=\delta(t),com condições iniciais h(0^-)=0 e h'(0^-)=0.
  • Teorema da convolução (no contexto de Laplace): se H(s) é a transformada de Laplace de h(t) e F(s) é a transformada de f(t), para condições iniciais nulas temos Y(s)=H(s)F(s)e, no tempo, y(t)=(h*f)(t)=\int_{0}^{t} h(t-\tau)f(\tau)\,d\tau.
  • Aplicação direta ao nosso caso: como o forçamento é f(t)=\delta(t-3), a convolução com h reduz-se a um deslocamento: (h*\delta(\cdot-3))(t)=h(t-3)\,u(t-3),onde u é a função degrau unitário. Portanto a solução total será y(t)=y_h(t)+h(t-3)\,u(t-3).

Passo 3

Calcular y_h(t)\) (solução homogênea que atende as condições iniciais). - A equação homogênea é \[y''+5y'+6y=0.
  • A equação característica é r^2+5r+6=0,que fatoriza como (r+2)(r+3)=0,logo as raízes são r=-2 e r=-3.
  • A solução geral homogênea é y_h(t)=C_1 e^{-2t}+C_2 e^{-3t}.
  • Impondo as condições iniciais: y_h(0)=C_1+C_2=1,e y_h'(t)=-2C_1 e^{-2t}-3C_2 e^{-3t}\quad\Rightarrow\quad y_h'(0)=-2C_1-3C_2=0.
  • Resolver o sistema \begin{cases} C_1+C_2=1,\\[4pt] -2C_1-3C_2=0, \end{cases}multiplicando a primeira por 2\] obtemos \(2C_1+2C_2=2. Somando com a segunda equação: (2C_1+2C_2)+(-2C_1-3C_2)=2+0 \Rightarrow -C_2=2 \Rightarrow C_2=-2.Então C_1=1-C_2=1-(-2)=3.
  • Portanto y_h(t)=3e^{-2t}-2e^{-3t}.]

Passo 4

Encontrar a resposta ao impulso h(t) usando transformada de Laplace (a abordagem é padrão e dá a função h usada na convolução).
  • Tomando Laplace da equação para h (condições iniciais nulas), obtemos H(s)=\mathcal{L}\{h\}(s)=\frac{1}{s^2+5s+6}.
  • Fatorando o denominador: s^2+5s+6=(s+2)(s+3).
  • Fazendo frações parciais: \frac{1}{(s+2)(s+3)}=\frac{A}{s+2}+\frac{B}{s+3}.Resolving: A(s+3)+B(s+2)=1.Substituindo s=-2 A=1. Substituindo s=-3 B=-1.
  • Logo H(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{1}{s+3}.Tomando transformada inversa: h(t)=e^{-2t}-e^{-3t},\qquad t\ge 0.
  • Observação prática: h(0)=0 (pois 1-1=0), e h'(0)=-2+3=1, fato que será útil para verificar o salto da derivada causado pelo delta.

Passo 5

Aplicar a convolução com \delta(t-3)\). - Pelo argumento do Passo 2 e pela propriedade do delta na convolão: \[(h*\delta(\cdot-3))(t)=\int_{0}^{t} h(t-\tau)\delta(\tau-3)\,d\tau.
A integral “puxa” o valor em \tau=3, ficando (lembrando que o integrando existe apenas quando 0\le\tau\le t):
(h*\delta(\cdot-3))(t)= \begin{cases} 0, & t<3,\\[4pt] h(t-3), & t\ge 3, \end{cases}
ou, de forma compacta,
(h*\delta(\cdot-3))(t)=h(t-3)\,u(t-3).
  • Substituindo (h] já encontrada:
    h(t-3)\,u(t-3)=\bigl(e^{-2(t-3)}-e^{-3(t-3)}\bigr)\,u(t-3).]

Passo 6

Escrever a solução total juntando a resposta livre y_h com a resposta forçada (convolução).
  • Portanto a solução da ED com as condições iniciais dadas é y(t)=y_h(t)+h(t-3)\,u(t-3).
  • Substituindo as expressões: y(t)=3e^{-2t}-2e^{-3t}+\bigl(e^{-2(t-3)}-e^{-3(t-3)}\bigr)\,u(t-3).
  • Podemos também escrever em forma peça-por-peça para ficar claro: y(t)=\begin{cases} 3e^{-2t}-2e^{-3t}, & 0\le t<3,\\[6pt] 3e^{-2t}-2e^{-3t}+e^{-2(t-3)}-e^{-3(t-3)}, & t\ge 3. \end{cases}]

Passo 7

Verificação rápida (check intuitivo da propriedade do delta):
  • A solução é contínua em t=3 porque h(0)=0, então y(3^-)=y(3^+).
  • A derivada tem salto em t=3 igual a h'(0)=1, que é consistente com integrar a equação em torno de t=3: ao integrar de 3^- a 3^+ obtemos o salto na derivada igual a \int_{3^-}^{3^+}\delta(t-3)\,dt=1.
  • Esses pontos confirmam que a forma final está coerente com a presença do impulso em t=3.

Resposta

y(t)=3e^{-2t}-2e^{-3t}+\bigl(e^{-2(t-3)}-e^{-3(t-3)}\bigr)\,u(t-3).

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