- Quando uma pessoa tosse, a traquéia se contrai. Sejam
o raio da traquéia, r o raio da traquéia durante a tosse, P pressão do ar na traquéia durante a tosse e v velocidade do ar na traquéia durante a tosse. Use os seguintes princípios de fluxo de fluídos para determinar quanto a traquéia deve se contrair, ou seja, determine r, de modo que ocorra a maior velocidade de ar (condição mais favorável para limpeza de pulmões e da traquéia).
constante. Experimentalmente, observa-se que durante a tosse a diminuição do raio da traquéia é aproximadamente proporcional à pressão do ar na traquéia.
constante. Pela teoria de fluídos, a velocidade do ar pela traquéia é proporcional ao produto da pressão do ar e a área da seção da traquéia. Considerar que a traquéia seja um círculo, então a área é
.
é a variação do raio da traquéia.
Utilizando
Pontos críticos de
:
e
Utilizando
obtemos:
Ponto de máximo
Assim, em
a velocidade é máxima.
Utilizando
Pontos críticos de
Utilizando
Assim, em
Passo 1
O enunciado diz que, durante a tosse, o raio da traqueia passa de
para
, com
, e a velocidade do ar vale
, com
. Queremos achar o valor de
que torna
máxima. O conteúdo é otimização de função de uma variável usando derivadas e teste de segunda derivada.
Passo 2
Expressamos a pressão
em função de
. Como
segue
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Calculamos a derivada primeira e achamos os críticos:
Há soluções
e
Passo 4
Para verificar máximo, usamos a segunda derivada:
Em
vem
logo é ponto de máximo.
Resposta
O raio que maximiza a velocidade é