PF3.13 Uma haste de 100 mm de comprimento tem diâmetro de 15 mm . Se for aplicada uma carga axial de tração de 10 kN , determine a mudança em seu diâmetro. E=70 \mathrm{GPa}, \nu=0,35.

Passo 1

O enunciado descreve uma haste cilíndrica de comprimento 100,mm e diâmetro 15,mm submetida a uma carga de tração axial P=10\,\text{kN}. Pede a variação do diâmetro \Delta d sabendo E=70\,\text{GPa} e \nu=0,35.
O conteúdo envolve cálculo de tensão axial pelo módulo de elasticidade e a aplicação da relação de Poisson para obter a contração lateral.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal da haste, que é circular:
A = \frac{\pi d^2}{4}
Substituindo d=15,mm:
A = \frac{\pi\,(15)^2}{4}\approx 176{,}7\\ \text{mm}^2.

Passo 3

Obter a tensão axial \sigma e a deformação axial \varepsilon_{\text{ax}}.
A tensão é
\sigma = \frac{P}{A}
com P=10\,\text{kN}=10000\,\text{N}, logo
\sigma = \frac{10000}{176{,}7}\approx 56{,}6\\ \text{N/mm}^2 = 56{,}6\\ \text{MPa}.
Pela Lei de Hooke,
\varepsilon_{\text{ax}} = \frac{\sigma}{E}
com E=70\,\text{GPa}=70000\,\text{MPa}, então
\varepsilon_{\text{ax}} = \frac{56{,}6}{70000}\approx 8{,}09\times10^{-4}.

Passo 4

Usar a relação de Poisson para obter a deformação lateral \varepsilon_{\text{lat}} e a variação do diâmetro \Delta d.
A deformação lateral é
\varepsilon_{\text{lat}} = -\nu\,\varepsilon_{\text{ax}} = -0,35\times8{,}09\times10^{-4} \approx -2{,}83\times10^{-4}.
Como \varepsilon_{\text{lat}} = \frac{\Delta d}{d}, segue
\Delta d = \varepsilon_{\text{lat}}\;d = -2{,}83\times10^{-4}\times15\\ \text{mm} \approx -4{,}25\times10^{-3}\\ \text{mm}.

Resposta

\Delta d \approx -4,25\times10^{-3}\,\text{mm} (o diâmetro diminui cerca de 0,00425 mm).

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