Questão 05 (1.5 pontos)

Mostre que a função u=\mathrm{e}^{b(x-v t)} é uma solução da equação da onda: \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
u = \mathrm{e}^{b(x - v\,t)}
satisfaz a equação da onda unidimensional
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}}\, \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}.
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais de ordem dois e substituição na equação da onda.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais em x. Como
u(x,t)=\mathrm{e}^{b(x - v\,t)},
temos
\frac{\partial u}{\partial x} = b\,\mathrm{e}^{b(x - v\,t)} \quad\text{e}\quad \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = b^{2}\,\mathrm{e}^{b(x - v\,t)}.

Passo 3

Agora calculemos as derivadas parciais em t. Usando a regra da cadeia,
\frac{\partial u}{\partial t} = -b\,v\,\mathrm{e}^{b(x - v\,t)} \quad\text{e}\quad \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = (-b\,v)^{2}\,\mathrm{e}^{b(x - v\,t)} = b^{2}\,v^{2}\,\mathrm{e}^{b(x - v\,t)}.

Passo 4

Substituindo na equação da onda, o lado esquerdo é
\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} = b^{2}\,\mathrm{e}^{b(x - v\,t)},
e o lado direito é
\frac{1}{v^{2}}\, \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = \frac{1}{v^{2}}\, \bigl(b^{2}\,v^{2}\,\mathrm{e}^{b(x - v\,t)}\bigr) = b^{2}\,\mathrm{e}^{b(x - v\,t)}.
Como ambos os lados coincidem, a função satisfaz a equação da onda.

Resposta

A função
u=\mathrm{e}^{b(x - v\,t)}
é solução da equação da onda \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}.

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