Um piano apresenta 88 teclas. A primeira corresponde à nota mais grave, o lá { }_{0}, de freqüência 27,5 \mathrm{~Hz}. A última corresponde à nota mais aguda, o dós, de freqüência 4186 Hz . Determine o intervalo entre essas notas extremas.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Um piano com 88 teclas.
  • A tecla mais grave é o lá _0 com frequência 27,5\\ \mathrm{Hz}.
  • A tecla mais aguda é o dó com frequência 4186\\ \mathrm{Hz}.
O que o problema pede:
  • Determinar o intervalo entre essas notas extremas (ou seja, quantos semitons/oitavas e qual a razão de frequências entre a nota mais aguda e a mais grave).

Passo 2

Conceito fundamental (explicação didática e passo a passo): em afinação temperada igual (a usada no piano), a razão de frequência entre duas teclas adjacentes (um semitom) é sempre a mesma. Essa razão chamamos de razão do semitom e vale
2^{1/12},
porque um intervalo de uma oitava corresponde a dobrar a frequência (razão 2) e uma oitava contém 12 semitons, então cada semitom deve multiplicar a frequência por 2^{1/12}.
Explicando as variáveis da fórmula que vamos usar:
  • Seja f_1 a frequência da nota mais grave ( f_1=27,5\\ \mathrm{Hz}).
  • Seja f_2 a frequência da nota mais aguda ( f_2=4186\\ \mathrm{Hz}).
  • Seja n o número de semitons (passos de tecla) entre as duas notas.
    Então, a relação entre as frequências é
f_2 = f_1 \cdot 2^{n/12}.

Passo 3

Raciocínio simples e direto a partir do número de teclas: em um conjunto de 88 teclas consecutivas há 87 intervalos entre teclas vizinhas (porque entre 88 objetos consecutivos existem 88-1=87 espaços). Cada espaço é um semitom. Portanto, o número de semitons entre a primeira e a última tecla é
n = 88-1 = 87.
Essa é a forma mais imediata de obter n sem precisar de logaritmos.

Passo 4

Usando a fórmula da Passo 2 para verificar e para obter a razão de frequências:
\frac{f_2}{f_1} = 2^{n/12} = 2^{87/12} = 2^{7{,}25}.
Calculando numericamente (mostrando os passos):
2^{7{,}25} = 2^{7}\cdot 2^{0{,}25} = 128\cdot 2^{1/4}.
Sabendo que 2^{1/4}\approx 1{,}189207115, obtemos
2^{7{,}25}\approx 128\cdot 1{,}189207115 \approx 152{,}2185107.
Logo a razão de frequências prevista pela teoria é
\frac{f_2}{f_1}\approx 152{,}2185107.
Comparando com os valores dados no enunciado:
\frac{4186}{27{,}5}=\frac{8372}{55}\approx 152{,}2181818,
que é praticamente igual (pequenas diferenças vêm de arredondamentos na frequência do dó agudo). Assim tudo é consistente e confirma n=87.

Passo 5

Converter n=87 semitons em oitavas e em termos musicais:
  • Uma oitava tem 12 semitons. Então em oitavas temos
\text{nº de oitavas}=\frac{87}{12}=7{,}25.º
Isto é, 7 oitavas completas mais 0{,}25 de oitava. Como 0{,}25 de oitava equivale a 0{,}25\times 12=3 semitons, o intervalo é
  • 7 oitavas + 3 semitons.
Em linguagem musical, 3 semitons correspondem a uma terça menor. Portanto o intervalo é “sete oitavas e uma terça menor” (ou simplesmente 7{,}25 oitavas).

Passo 6

Resumo final dos resultados (tudo coerente com a afinação temperada igual do piano):
  • número de semitons entre as notas extremas: 87;
  • equivalente em oitavas: 7{,}25 oitavas (ou 7 oitavas + 3 semitons, que é uma terça menor);
  • razão de frequências f_{\text{aguda}}/f_{\text{grave}}\approx 152{,}2185.

Resposta

87 semitons = 7{,}25 oitavas (ou 7 oitavas + 3 semitons, terça menor)
\displaystyle \frac{f_{\text{aguda}}}{f_{\text{grave}}}\approx 152{,}2185

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