Um piano apresenta 88 teclas. A primeira corresponde à nota mais grave, o lá
, de freqüência
. A última corresponde à nota mais aguda, o dós, de freqüência 4186 Hz . Determine o intervalo entre essas notas extremas.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Um piano com
teclas. - A tecla mais grave é o lá
com frequência . - A tecla mais aguda é o dó com frequência
.
O que o problema pede:
- Determinar o intervalo entre essas notas extremas (ou seja, quantos semitons/oitavas e qual a razão de frequências entre a nota mais aguda e a mais grave).
Passo 2
Conceito fundamental (explicação didática e passo a passo): em afinação temperada igual (a usada no piano), a razão de frequência entre duas teclas adjacentes (um semitom) é sempre a mesma. Essa razão chamamos de razão do semitom e vale
porque um intervalo de uma oitava corresponde a dobrar a frequência (razão
) e uma oitava contém
semitons, então cada semitom deve multiplicar a frequência por
.
Explicando as variáveis da fórmula que vamos usar:
- Seja
a frequência da nota mais grave ( ). - Seja
a frequência da nota mais aguda ( ). - Seja
o número de semitons (passos de tecla) entre as duas notas.
Então, a relação entre as frequências é
Passo 3
Raciocínio simples e direto a partir do número de teclas: em um conjunto de
teclas consecutivas há
intervalos entre teclas vizinhas (porque entre
objetos consecutivos existem
espaços). Cada espaço é um semitom. Portanto, o número de semitons entre a primeira e a última tecla é
Essa é a forma mais imediata de obter
sem precisar de logaritmos.
Passo 4
Usando a fórmula da Passo 2 para verificar e para obter a razão de frequências:
Calculando numericamente (mostrando os passos):
Sabendo que
, obtemos
Logo a razão de frequências prevista pela teoria é
Comparando com os valores dados no enunciado:
que é praticamente igual (pequenas diferenças vêm de arredondamentos na frequência do dó agudo). Assim tudo é consistente e confirma
.
Passo 5
Converter
semitons em oitavas e em termos musicais:
- Uma oitava tem
semitons. Então em oitavas temos
Isto é,
oitavas completas mais
de oitava. Como
de oitava equivale a
semitons, o intervalo é
-
oitavas + semitons.
Em linguagem musical,
semitons correspondem a uma terça menor. Portanto o intervalo é “sete oitavas e uma terça menor” (ou simplesmente
oitavas).
Passo 6
Resumo final dos resultados (tudo coerente com a afinação temperada igual do piano):
- número de semitons entre as notas extremas:
; - equivalente em oitavas:
oitavas (ou oitavas + semitons, que é uma terça menor); - razão de frequências
.