Calcule as Integrais Duplas: \iint_{B} x d x d y, sendo B o triângulo x \geqslant 0, y \geqslant 0, x+y \leq 1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} x\,dx\,dy,
onde B é o triângulo dado por x\geqslant 0,\; y\geqslant 0,\; x+y\leq 1.
Informações relevantes que o enunciado dá:
A função a integrar é f(x,y)=x.
A região B é um triângulo no primeiro quadrante, com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1).
O que se quer é o valor numérico da integral dupla sobre essa região.
Passo 2
Ideia geral e como transformar a integral dupla numa integral iterada (explicação didática).
Uma integral dupla \iint_{B} x\,dx\,dy pode ser calculada por integração iterada (Teorema de Fubini): integrar primeiro em x e depois em y, ou vice-versa, desde que os limites sejam ajustados corretamente.
Para montar os limites: para um y fixo entre 0 e 1, os pontos (x,y) do triângulo têm x variando de 0 até a reta x=1-y (porque x+y\le1 implica x\le1-y). Logo uma forma conveniente é integrar primeiro em x com x\in[0,\,1-y] e depois em y com y\in[0,\,1].
Comentário didático final e verificação alternativa rápida.
Intuitivamente, por simetria do triângulo B (trocar x por y deixa a região invariante), tem-se \iint_{B} x\,dA = \iint_{B} y\,dA. Assim \iint_{B} (x+y)\,dA = 2\iint_{B} x\,dA.
Mas x+y\le1 na região, então \iint_{B} (x+y)\,dA = \iint_{B} 1\,dA - (não é direto assim sem cuidado), então a verificação completa exigiria calcular \iint_{B} 1\,dA etc. A forma direta que fizemos é simples e dá o resultado certo: \tfrac{1}{6}.
Parabéns! Você conseguiu montar os limites a partir da geometria do triângulo e calcular a integral passo a passo.