Calcule as Integrais Duplas:
\iint_{B} x d x d y, sendo B o triângulo x \geqslant 0, y \geqslant 0, x+y \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} x\,dx\,dy,
onde B é o triângulo dado por x\geqslant 0,\; y\geqslant 0,\; x+y\leq 1.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função a integrar é f(x,y)=x.
  • A região B é um triângulo no primeiro quadrante, com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1).
  • O que se quer é o valor numérico da integral dupla sobre essa região.

Passo 2

Ideia geral e como transformar a integral dupla numa integral iterada (explicação didática).
  • Uma integral dupla \iint_{B} x\,dx\,dy pode ser calculada por integração iterada (Teorema de Fubini): integrar primeiro em x e depois em y, ou vice-versa, desde que os limites sejam ajustados corretamente.
  • Para montar os limites: para um y fixo entre 0 e 1, os pontos (x,y) do triângulo têm x variando de 0 até a reta x=1-y (porque x+y\le1 implica x\le1-y). Logo uma forma conveniente é integrar primeiro em x com x\in[0,\,1-y] e depois em y com y\in[0,\,1].
  • Assim a integral iterada fica
\int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=0}^{\,1-y} x\,dx\right) dy.

Passo 3

Calcule a integral interna \displaystyle \int_{x=0}^{\,1-y} x\,dx.
  • Regra básica: \displaystyle \int x\,dx=\frac{1}{2}x^{2}. Aqui x é a variável de integração, y é tratado como constante.
  • Portanto
\int_{x=0}^{\,1-y} x\,dx = \left.\frac{1}{2}x^{2}\right|_{x=0}^{x=1-y} = \frac{1}{2}(1-y)^{2}.

Passo 4

Agora integramos em y:
\int_{y=0}^{1} \frac{1}{2}(1-y)^{2} dy.
  • Desenvolvendo o quadrado: (1-y)^{2}=1-2y+y^{2}.
  • Então a integral fica
\int_{0}^{1} \frac{1}{2}(1-2y+y^{2})\,dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} (1-2y+y^{2})\,dy.

Passo 5

Integre termo a termo:
  • \displaystyle \int_{0}^{1} 1\,dy = \left.y\right|_{0}^{1}=1.
  • \displaystyle \int_{0}^{1} 2y\,dy = 2\left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=1.
  • \displaystyle \int_{0}^{1} y^{2}\,dy = \left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
Juntando:
\frac{1}{2}\Big(1 - 1 + \tfrac{1}{3}\Big) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{6}.

Passo 6

Comentário didático final e verificação alternativa rápida.
  • Intuitivamente, por simetria do triângulo B (trocar x por y deixa a região invariante), tem-se \iint_{B} x\,dA = \iint_{B} y\,dA. Assim \iint_{B} (x+y)\,dA = 2\iint_{B} x\,dA.
  • Mas x+y\le1 na região, então \iint_{B} (x+y)\,dA = \iint_{B} 1\,dA - (não é direto assim sem cuidado), então a verificação completa exigiria calcular \iint_{B} 1\,dA etc. A forma direta que fizemos é simples e dá o resultado certo: \tfrac{1}{6}.
  • Parabéns! Você conseguiu montar os limites a partir da geometria do triângulo e calcular a integral passo a passo.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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