- O pilar está engastado e uma força P é aplicada a uma distância “e” do CG sobre o eixo de simetria da seção no seu lado positivo, conforme referência, Determine o máximo valor dessa excentricidade “e”, de modo que as tensões normais de tração no pilar não superem 100 MPa . Considere
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor máximo da excentricidade
(distância do eixo de aplicação da força até o CG da seção, medida ao longo do eixo
) de modo que as tensões normais de tração no pilar não excedam
. O valor da força é
.
Informações relevantes fornecidas (peguei estes números da imagem):
- Geometria da seção transversal em forma de U construída a partir de três retângulos (um flange inferior e duas pernas verticais), com as dimensões marcadas na imagem:
- Espessura das paredes (pernas):
(cada). - Largura entre paredes (entre centros externos):
(ou seja, folga interna ). - Altura das pernas:
. - Espessura do flange inferior (base):
.
- Espessura das paredes (pernas):
- Tensão de tração admissível:
. - Força:
.
O que deve ser encontrado: o maior valor de
tal que a máxima tensão de tração gerada pela combinação de esforço axial e momento fletor (devido à excentricidade) não ultrapasse
.
Passo 2
Princípio físico e fórmula principal (aulas rápidas e claras).
- Quando há uma força axial excêntrica, a tensão normal em um ponto da seção é a soma (superposição) da tensão axial uniforme e da tensão de flexão:
- A tensão axial (compressiva) uniforme tem módulo
onde é a área da seção transversal. - A tensão de flexão em um ponto cuja coordenada horizontal (distância do centro geométrico) é
vale onde é o momento fletor gerado pela excentricidade (momento em relação ao eixo vertical), e é o momento de inércia da seção em relação ao eixo vertical que passa pelo CG.
- A tensão axial (compressiva) uniforme tem módulo
- Na face em que a flexão gera tração (lado oposto ao da compressão por
), a tensão de tração máxima na fibra extrema (distância máxima do CG) é - Para garantir que a tração não exceda o valor admissível
impomos No limite (máximo ) substituímos por igualdade e isolamos :
Explicação dos símbolos:
-
: força axial (N). -
: área da seção transversal ( ). -
: momento de inércia da área em relação ao eixo vertical que passa pelo CG ( ). -
: distância do CG até a fibra extrema onde aparece a máxima tração (m). -
: tensão de tração admissível (Pa).
Essa fórmula é o que vamos usar depois de calcular, e .
Passo 3
Cálculo da área da seção (
). Vou decompor a seção em três retângulos (peguei as dimensões da imagem):
- Flange inferior (retângulo horizontal): largura
, espessura . - Duas pernas verticais (cada uma): espessura
, altura .
Área total:
Converter para metros quadrados (SI):
Passo 4
Determinação da posição do centro geométrico no sentido horizontal e da distância
.
- A seção é simétrica em relação ao eixo vertical central, logo o CG fica no centro em
. - Meia-largura externa (do centro até a borda externa) é
. Portanto a fibra extrema em tensão está a
Passo 5
Cálculo do momento de inércia
(eixo vertical passando pelo CG). Vou usar decomposição e o teorema dos eixos paralelos (peguei as dimensões da imagem).
Formulas úteis (retângulos):
- Para um retângulo de largura
ao longo do eixo e espessura ao longo do eixo , o momento de inércia em torno de um eixo vertical que passa pelo centro do retângulo é quando o eixo é paralelo ao lado de comprimento (caso do flange). - Para um retângulo vertical de largura
(no sentido ) e altura (no sentido ), o momento de inércia em torno do eixo vertical que passa pelo seu próprio centro é
Cálculos (uso unidades mm para clareza; depois converto para m^4):
- Flange (centrado):
, : - Cada perna (retângulo vertical):
, : Agora aplicar o teorema dos eixos paralelos: a distância horizontal do centro da perna até o eixo central é Então a contribuição total de cada perna ao é Calcule . Assim - Duas pernas juntas:
- Momento de inércia total:
Converter para
(
):
Passo 6
Calcule
para ver a contribuição axial (sempre mostrando as unidades):
Comentário intuitivo: sem excentricidade a compressão uniforme já é
, bem perto do limite de
; por isso a excentricidade admissível será relativamente pequena (alguns mm).
Passo 7
Substituir tudo na fórmula para
:
Agora os números (usar SI:
,
,
,
, e
):
Calcule o numerador:
Denominador:
Portanto
Converter para milímetros:
Passo 8
Arredondamento e interpretação final (com incentivo).
- Resultado arredondado com duas casas decimais:
. - Interpretação rápida: com
e essa seção estreita (área pequena), a tensão axial já é alta ( ), por isso só sobra uma excentricidade de cerca de até a tração atingir . Dá para ver que em prova é essencial calcular e com cuidado — e prestar atenção nas unidades.