1. O pilar está engastado e uma força P é aplicada a uma distância “e” do CG sobre o eixo de simetria da seção no seu lado positivo, conforme referência, Determine o máximo valor dessa excentricidade “e”, de modo que as tensões normais de tração no pilar não superem 100 MPa . Considere \mathrm{P}=2 \mathrm{kN}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor máximo da excentricidade e (distância do eixo de aplicação da força até o CG da seção, medida ao longo do eixo x) de modo que as tensões normais de tração no pilar não excedam 100\\ \text{MPa}. O valor da força é \mathrm{P}=2\\ \text{kN}.
Informações relevantes fornecidas (peguei estes números da imagem):
  • Geometria da seção transversal em forma de U construída a partir de três retângulos (um flange inferior e duas pernas verticais), com as dimensões marcadas na imagem:
    • Espessura das paredes (pernas): 1\\ \text{mm} (cada).
    • Largura entre paredes (entre centros externos): 1\\ \text{mm} + 12\\ \text{mm} + 1\\ \text{mm} = 14\\ \text{mm} (ou seja, folga interna 12\\ \text{mm}).
    • Altura das pernas: 4\\ \text{mm}.
    • Espessura do flange inferior (base): 1\\ \text{mm}.
  • Tensão de tração admissível: 100\\ \text{MPa}.
  • Força: \mathrm{P}=2\\ \text{kN}=2000\\ \text{N}.
O que deve ser encontrado: o maior valor de e tal que a máxima tensão de tração gerada pela combinação de esforço axial e momento fletor (devido à excentricidade) não ultrapasse 100\\ \text{MPa}.

Passo 2

Princípio físico e fórmula principal (aulas rápidas e claras).
  • Quando há uma força axial excêntrica, a tensão normal em um ponto da seção é a soma (superposição) da tensão axial uniforme e da tensão de flexão:
    • A tensão axial (compressiva) uniforme tem módulo \sigma_0=\frac{P}{A},onde A é a área da seção transversal.
    • A tensão de flexão em um ponto cuja coordenada horizontal (distância do centro geométrico) é x vale \sigma_b=\frac{M\,x}{I_z},onde M=P\,e é o momento fletor gerado pela excentricidade e (momento em relação ao eixo z vertical), e I_z é o momento de inércia da seção em relação ao eixo vertical que passa pelo CG.
  • Na face em que a flexão gera tração (lado oposto ao da compressão por P), a tensão de tração máxima na fibra extrema (distância máxima c do CG) é \sigma_{\text{tração}}=\sigma_b\text{(c)}-\sigma_0=\frac{P e c}{I_z}-\frac{P}{A}.çã
  • Para garantir que a tração não exceda o valor admissível \sigma_{\text{adm}}=100\\ \text{MPa} impomos \frac{P e c}{I_z}-\frac{P}{A} \le \sigma_{\text{adm}}.No limite (máximo e) substituímos por igualdade e isolamos e: e=\frac{\bigl(\sigma_{\text{adm}}+\dfrac{P}{A}\bigr)\,I_z}{P\,c}.
Explicação dos símbolos:
  • P: força axial (N).
  • A: área da seção transversal ( \text{m}^2).
  • I_z: momento de inércia da área em relação ao eixo vertical que passa pelo CG ( \text{m}^4).
  • c: distância do CG até a fibra extrema onde aparece a máxima tração (m).
  • \sigma_{\text{adm}}: tensão de tração admissível (Pa).
    Essa fórmula é o que vamos usar depois de calcular A, I_z e c.

Passo 3

Cálculo da área da seção ( A). Vou decompor a seção em três retângulos (peguei as dimensões da imagem):
  • Flange inferior (retângulo horizontal): largura b=14\\ \text{mm}, espessura t=1\\ \text{mm}. A_{\text{flange}}=14\cdot1=14\\ \text{mm}^2.
  • Duas pernas verticais (cada uma): espessura 1\\ \text{mm}, altura 4\\ \text{mm}. A_{\text{perna}}=1\cdot4=4\\ \text{mm}^2\quad(\text{cada perna}).
Área total:
A= A_{\text{flange}} + 2A_{\text{perna}} = 14 + 2\cdot4 = 22\\ \text{mm}^2.
Converter para metros quadrados (SI):
A = 22\\ \text{mm}^2 = 22\times 10^{-6}\\ \text{m}^2.

Passo 4

Determinação da posição do centro geométrico no sentido horizontal e da distância c.
  • A seção é simétrica em relação ao eixo vertical central, logo o CG fica no centro em x=0.
  • Meia-largura externa (do centro até a borda externa) é \tfrac{14}{2}=7\\ \text{mm}. Portanto a fibra extrema em tensão está a c=7\\ \text{mm}=0{,}007\\ \text{m}.

Passo 5

Cálculo do momento de inércia I_z (eixo vertical passando pelo CG). Vou usar decomposição e o teorema dos eixos paralelos (peguei as dimensões da imagem).
Formulas úteis (retângulos):
  • Para um retângulo de largura b ao longo do eixo x e espessura t ao longo do eixo z, o momento de inércia em torno de um eixo vertical que passa pelo centro do retângulo é I_{z,\text{ret}}=\frac{t\,b^3}{12}quando o eixo é paralelo ao lado de comprimento b (caso do flange).
  • Para um retângulo vertical de largura t (no sentido x) e altura h (no sentido z), o momento de inércia em torno do eixo vertical que passa pelo seu próprio centro é I_{z,\text{ret\_vert}}=\frac{h\,t^3}{12}.
Cálculos (uso unidades mm para clareza; depois converto para m^4):
  • Flange (centrado): b=14\\ \text{mm}, t=1\\ \text{mm}: I_{z,\text{flange}}=\frac{1\cdot 14^3}{12}=\frac{2744}{12}=228{,}666\ldots\\ \text{mm}^4.
  • Cada perna (retângulo vertical): h=4\\ \text{mm}, t=1\\ \text{mm}: I_{z,\text{perna,local}}=\frac{4\cdot 1^3}{12}=\frac{4}{12}=0{,}333333\\ \text{mm}^4.Agora aplicar o teorema dos eixos paralelos: a distância horizontal do centro da perna até o eixo central é d=7-\frac{1}{2}=6{,}5\\ \text{mm}.Então a contribuição total de cada perna ao I_z é I_{z,\text{perna}}=I_{z,\text{perna,local}} + A_{\text{perna}}\,d^2 =0{,}333333 + 4\cdot(6{,}5)^2.Calcule 4\cdot(6{,}5)^2=4\cdot42{,}25=169\\ \text{mm}^4. Assim I_{z,\text{perna}}=0{,}333333 + 169 = 169{,}333333\\ \text{mm}^4.
  • Duas pernas juntas: 2I_{z,\text{perna}}=338{,}666666\\ \text{mm}^4.
  • Momento de inércia total: I_z = I_{z,\text{flange}} + 2I_{z,\text{perna}} =228{,}666666 + 338{,}666666 = 567{,}333332\\ \text{mm}^4.
Converter para \text{m}^4 ( 1\\ \text{mm}^4 = 10^{-12}\\ \text{m}^4 ):
I_z = 567{,}333332\times 10^{-12}\\ \text{m}^4 \approx 5{,}67333\times 10^{-10}\\ \text{m}^4.

Passo 6

Calcule \dfrac{P}{A} para ver a contribuição axial (sempre mostrando as unidades):
\frac{P}{A}=\frac{2000\\ \text{N}}{22\times 10^{-6}\\ \text{m}^2} = \frac{2000}{22\times 10^{-6}}\\ \text{Pa} =90{,}909090\ldots\times 10^{6}\\ \text{Pa} \approx 90{,}909\times 10^{6}\\ \text{Pa}=90{,}909\\ \text{MPa}.
Comentário intuitivo: sem excentricidade a compressão uniforme já é \approx 90{,}9\\ \text{MPa}, bem perto do limite de 100\\ \text{MPa}; por isso a excentricidade admissível será relativamente pequena (alguns mm).

Passo 7

Substituir tudo na fórmula para e:
e=\frac{\bigl(\sigma_{\text{adm}}+\dfrac{P}{A}\bigr)\,I_z}{P\,c}.
Agora os números (usar SI: \sigma_{\text{adm}}=100\times 10^{6}\\ \text{Pa}, P=2000\\ \text{N}, I_z=5{,}67333\times 10^{-10}\\ \text{m}^4, c=0{,}007\\ \text{m}, e \dfrac{P}{A}=90{,}909\times10^{6}\\ \text{Pa}):
Calcule o numerador:
\sigma_{\text{adm}}+\frac{P}{A}=100\times 10^{6}+90{,}909\times 10^{6}=190{,}909\times 10^{6}\\ \text{Pa}.
(\sigma_{\text{adm}}+\frac{P}{A})I_z = 190{,}909\times 10^{6}\times 5{,}67333\times 10^{-10} \approx 0{,}10830903\\ \text{(N·m)}.
Denominador:
P\,c = 2000\cdot 0{,}007 = 14\\ \text{N·m}.
Portanto
e=\frac{0{,}10830903}{14}\\ \text{m}\approx 0{,}00773636\\ \text{m}.
Converter para milímetros:
e\approx 7{,}73636\\ \text{mm}.

Passo 8

Arredondamento e interpretação final (com incentivo).
  • Resultado arredondado com duas casas decimais: e\approx 7{,}74\\ \text{mm}.
  • Interpretação rápida: com P=2\\ \text{kN} e essa seção estreita (área pequena), a tensão axial já é alta ( \approx 90{,}9\\ \text{MPa}), por isso só sobra uma excentricidade de cerca de 7{,}7\\ \text{mm} até a tração atingir 100\\ \text{MPa}. Dá para ver que em prova é essencial calcular A e I com cuidado — e prestar atenção nas unidades.

Resposta

e\approx 7{,}74\\ \text{mm}

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