• Um óleo mineral escoa entre duas planas horizontais, paralelas e distanciadas de 10 mm . A placa inferior é imóvel, enquanto a superior é puxada a uma velocidade horizontal igual a 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no sentido positivo do eixo x. O gradiente de pressão na direção do escoamento é constante e igual a -100 \mathrm{kPa} / \mathrm{m}. Estime a velocidade média desse escoamento simplificando as Equações de Navier-Stokes.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado pede e das informações dadas:
  • O enunciado pede: estimar a velocidade média do escoamento entre duas placas paralelas, simplificando as Equações de Navier–Stokes.
  • Informações fornecidas:
    • separação entre placas: \,h=10\\ \text{mm}=0,01\\ \mathrm{m}\,;
    • placa inferior imóvel: \,u(y=0)=0\,;
    • placa superior movendo-se no sentido positivo de x com velocidade \,U=5\\ \mathrm{m/s}\, (condição \,u(y=h)=U\,);
    • gradiente de pressão constante na direção do escoamento: \,\dfrac{dp}{dx}=-100\\ \mathrm{kPa/m}=-100000\\ \mathrm{Pa/m}\,.
  • Pedido final: calcular a velocidade média do escoamento \overline{u} com simplificações adequadas das Navier–Stokes.

Passo 2

Assumptions (por que são razoáveis e o que significam) — isto permite simplificar as Navier–Stokes:
  • fluxo estável (estacionário): todas as derivadas temporais nulas.
  • escoamento unidirecional e totalmente desenvolvido: a velocidade só tem componente em x e depende apenas da coordenada transversal y, isto é \mathbf{u}=(u(y),0,0).
  • fluido incompresível e de viscosidade constante \mu.
  • forças de volume (gravidade) desprezíveis na direção x.
  • regime laminar (entre placas estreitas e velocidades moderadas isto costuma valer).
    Essas hipóteses reduzem fortemente as equações e são as mesmas usadas para obter o perfil de Couette–Poiseuille.

Passo 3

Escrevendo a equação simplificada em x (derivação conceitual):
  • A equação de Navier–Stokes incompressível geral em x é, em forma reduzida, (termos convectivos, pressão, viscosidade, etc.). Com as hipóteses acima (estacionário, u=u(y), sem termos convectivos em x porque \partial u/\partial x=0, sem corpo de volume em x) sobra a balanço entre gradiente de pressão e tensão viscosa:
\mu \frac{d^{2}u}{dy^{2}}=\frac{dp}{dx}.
Explicação dos termos:
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido (unidade \mathrm{Pa\cdot s}).
  • \dfrac{d^{2}u}{dy^{2}} representa a curvatura do perfil de velocidade causada pela difusão de momento.
  • \dfrac{dp}{dx} é o gradiente de pressão (aqui constante).

Passo 4

Resolver a equação diferencial ordinária por integração:
  • Integrando uma vez:
\mu \frac{du}{dy}=\frac{dp}{dx}\,y + C_{1}.
  • Integrando pela segunda vez:
\mu u(y)=\frac{dp}{dx}\,\frac{y^{2}}{2}+C_{1}y + C_{2}.
  • Isolando u(y):
u(y)=\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,y^{2} + \frac{C_{1}}{\mu}y + \frac{C_{2}}{\mu}.

Passo 5

Aplicar as condições de contorno para determinar as constantes:
  • condição em y=0: u(0)=0 implica \dfrac{C_{2}}{\mu}=0\Rightarrow C_{2}=0.
  • condição em y=h: u(h)=U implica
U=\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,h^{2} + \frac{C_{1}}{\mu}h.
Assim
\frac{C_{1}}{\mu}=\frac{U}{h} - \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,h.
Substituindo de volta no perfil,
u(y)=\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,y^{2} + \left(\frac{U}{h} - \frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,h\right)y.
Agrupando o termo do gradiente de pressão:
u(y)=\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,y(y-h) + \frac{U}{h}\,y.
Interpretação física:
  • termo \dfrac{1}{2\mu}\dfrac{dp}{dx}\,y(y-h) é o perfil parabólico típico de Poiseuille (devido ao gradiente de pressão);
  • termo \dfrac{U}{h}y é o perfil linear de Couette (devido à placa móvel);
  • o perfil total é a superposição (Couette–Poiseuille).

Passo 6

Cálculo da velocidade média \overline{u}:
  • definição da velocidade média entre as placas:
\overline{u}=\frac{1}{h}\int_{0}^{h}u(y)\,dy.
  • integrar o perfil encontrado:
\overline{u}=\frac{1}{h}\int_{0}^{h}\left[\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\,y(y-h)+\frac{U}{h}y\right]dy.
Calcule as integrais separadamente:
\int_{0}^{h}y(y-h)\,dy=\int_{0}^{h}(y^{2}-hy)\,dy=\left[\frac{y^{3}}{3}-\frac{h y^{2}}{2}\right]_{0}^{h}=\frac{h^{3}}{3}-\frac{h^{3}}{2}=-\frac{h^{3}}{6}.
\int_{0}^{h}y\,dy=\frac{h^{2}}{2}.
Portanto
\overline{u}=\frac{1}{h}\left[\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}\left(-\frac{h^{3}}{6}\right)+\frac{U}{h}\cdot\frac{h^{2}}{2}\right].
Simplificando:
\overline{u}=-\frac{h^{2}}{12\mu}\frac{dp}{dx}+\frac{U}{2}.
Observação: o sinal mostra que se \dfrac{dp}{dx}<0 (pressão decresce no sentido +x), o primeiro termo é positivo e soma ao efeito da placa móvel.

Passo 7

Avaliação numérica — escolha de \mu e cálculo:
  • o enunciado não dá \mu. É preciso assumir um valor típico para óleo mineral. Óleos minerais comuns têm viscosidade dinâmica na faixa aproximada \,0,01\\ \text{a}\\\ 0,5\\ \mathrm{Pa\cdot s}\, dependendo do tipo e temperatura. Vou usar como valor representativo \mu=0,1\\ \mathrm{Pa\cdot s} (uma ordem de grandeza razoável para óleo mineral à temperatura ambiente). Também apresento resultados para \mu=0,05\\ \mathrm{Pa\cdot s} e \mu=0,2\\ \mathrm{Pa\cdot s} para ver sensibilidade.
  • constantes numéricas: \,h=0,01\\ \mathrm{m}, \,U=5\\ \mathrm{m/s}, \,\dfrac{dp}{dx}=-100000\\ \mathrm{Pa/m}.
Calcular com \mu=0,1\\ \mathrm{Pa\cdot s}:
-\frac{h^{2}}{12\mu}\frac{dp}{dx}=-\frac{(0,01)^{2}}{12\cdot 0,1}\cdot(-100000).
Faça passo a passo:
(0,01)^{2}=1\times 10^{-4}.
12\cdot 0,1=1,2.
\frac{1\times10^{-4}}{1,2}=8{,}333\dot{3}\times10^{-5}.
8{,}333\dot{3}\times10^{-5}\times(-100000)=-8{,}333\dot{3}.
Com o sinal global negativo em frente, isso dá termo positivo
-\frac{h^{2}}{12\mu}\frac{dp}{dx}=8{,}333\dot{3}\\ \mathrm{m/s}.
Somando \dfrac{U}{2}=2,5\\ \mathrm{m/s},
\overline{u}\approx 8{,}333\dot{3}+2{,}5=10{,}833\dot{3}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando: \overline{u}\approx 10,83\\ \mathrm{m/s} para \mu=0,1\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Resultados para sensibilidade:
  • para \mu=0,05\\ \mathrm{Pa\cdot s}: o termo de pressão dobra, ficando \approx 16{,}667\\ \mathrm{m/s}, logo \overline{u}\approx 16{,}667+2{,}5=19{,}167\\ \mathrm{m/s}.
  • para \mu=0,2\\ \mathrm{Pa\cdot s}: o termo de pressão fica metade, \approx 4{,}167\\ \mathrm{m/s}, logo \overline{u}\approx 4{,}167+2{,}5=6{,}667\\ \mathrm{m/s}.
Comentário encorajador: percebe-se que a contribuição do gradiente de pressão é sensivelmente dependente de \mu; mesmo assim, com uma estimativa plausível de viscosidade o procedimento e a fórmula acima são os que se aplicariam na prova.

Resposta

Estimativa principal: \overline{u}\approx 10,83\\ \mathrm{m/s} (assumindo \mu=0,1\\ \mathrm{Pa\cdot s}).
Valores alternativos por sensibilidade: \overline{u}\approx 19,17\\ \mathrm{m/s} para \mu=0,05\\ \mathrm{Pa\cdot s} e \overline{u}\approx 6,67\\ \mathrm{m/s} para \mu=0,2\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

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