Um óleo mineral escoa entre duas planas horizontais, paralelas e distanciadas de 10 mm . A placa inferior é imóvel, enquanto a superior é puxada a uma velocidade horizontal igual a 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no sentido positivo do eixo x. O gradiente de pressão na direção do escoamento é constante e igual a -100 \mathrm{kPa} / \mathrm{m}. Estime a velocidade média desse escoamento simplificando as Equações de Navier-Stokes.
Passo 1
Lista clara do que o enunciado pede e das informações dadas:
O enunciado pede: estimar a velocidade média do escoamento entre duas placas paralelas, simplificando as Equações de Navier–Stokes.
Informações fornecidas:
separação entre placas: \,h=10\\ \text{mm}=0,01\\ \mathrm{m}\,;
placa inferior imóvel: \,u(y=0)=0\,;
placa superior movendo-se no sentido positivo de x com velocidade \,U=5\\ \mathrm{m/s}\, (condição \,u(y=h)=U\,);
gradiente de pressão constante na direção do escoamento: \,\dfrac{dp}{dx}=-100\\ \mathrm{kPa/m}=-100000\\ \mathrm{Pa/m}\,.
Pedido final: calcular a velocidade média do escoamento \overline{u} com simplificações adequadas das Navier–Stokes.
Passo 2
Assumptions (por que são razoáveis e o que significam) — isto permite simplificar as Navier–Stokes:
fluxo estável (estacionário): todas as derivadas temporais nulas.
escoamento unidirecional e totalmente desenvolvido: a velocidade só tem componente em x e depende apenas da coordenada transversal y, isto é \mathbf{u}=(u(y),0,0).
fluido incompresível e de viscosidade constante \mu.
forças de volume (gravidade) desprezíveis na direção x.
regime laminar (entre placas estreitas e velocidades moderadas isto costuma valer).
Essas hipóteses reduzem fortemente as equações e são as mesmas usadas para obter o perfil de Couette–Poiseuille.
Passo 3
Escrevendo a equação simplificada em x (derivação conceitual):
A equação de Navier–Stokes incompressível geral em x é, em forma reduzida, (termos convectivos, pressão, viscosidade, etc.). Com as hipóteses acima (estacionário, u=u(y), sem termos convectivos em x porque \partial u/\partial x=0, sem corpo de volume em x) sobra a balanço entre gradiente de pressão e tensão viscosa:
\mu \frac{d^{2}u}{dy^{2}}=\frac{dp}{dx}.
Explicação dos termos:
\mu é a viscosidade dinâmica do fluido (unidade \mathrm{Pa\cdot s}).
\dfrac{d^{2}u}{dy^{2}} representa a curvatura do perfil de velocidade causada pela difusão de momento.
\dfrac{dp}{dx} é o gradiente de pressão (aqui constante).
Passo 4
Resolver a equação diferencial ordinária por integração:
Observação: o sinal mostra que se \dfrac{dp}{dx}<0 (pressão decresce no sentido +x), o primeiro termo é positivo e soma ao efeito da placa móvel.
Passo 7
Avaliação numérica — escolha de \mu e cálculo:
o enunciado não dá \mu. É preciso assumir um valor típico para óleo mineral. Óleos minerais comuns têm viscosidade dinâmica na faixa aproximada \,0,01\\ \text{a}\\\ 0,5\\ \mathrm{Pa\cdot s}\, dependendo do tipo e temperatura. Vou usar como valor representativo \mu=0,1\\ \mathrm{Pa\cdot s} (uma ordem de grandeza razoável para óleo mineral à temperatura ambiente). Também apresento resultados para \mu=0,05\\ \mathrm{Pa\cdot s} e \mu=0,2\\ \mathrm{Pa\cdot s} para ver sensibilidade.
Arredondando: \overline{u}\approx 10,83\\ \mathrm{m/s} para \mu=0,1\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Resultados para sensibilidade:
para \mu=0,05\\ \mathrm{Pa\cdot s}: o termo de pressão dobra, ficando \approx 16{,}667\\ \mathrm{m/s}, logo \overline{u}\approx 16{,}667+2{,}5=19{,}167\\ \mathrm{m/s}.
para \mu=0,2\\ \mathrm{Pa\cdot s}: o termo de pressão fica metade, \approx 4{,}167\\ \mathrm{m/s}, logo \overline{u}\approx 4{,}167+2{,}5=6{,}667\\ \mathrm{m/s}.
Comentário encorajador: percebe-se que a contribuição do gradiente de pressão é sensivelmente dependente de \mu; mesmo assim, com uma estimativa plausível de viscosidade o procedimento e a fórmula acima são os que se aplicariam na prova.
Resposta
Estimativa principal: \overline{u}\approx 10,83\\ \mathrm{m/s} (assumindo \mu=0,1\\ \mathrm{Pa\cdot s}).
Valores alternativos por sensibilidade: \overline{u}\approx 19,17\\ \mathrm{m/s} para \mu=0,05\\ \mathrm{Pa\cdot s} e \overline{u}\approx 6,67\\ \mathrm{m/s} para \mu=0,2\\ \mathrm{Pa\cdot s}.