Questão 2: (Estruturas) 3,0 Pontos
Determine as forças atuantes nos nós A, B e D.

Passo 1

O enunciado pede: "determine as forças atuantes nos nós A, B e D".
Informações relevantes dadas pelo enunciado e pela figura (extraídas da imagem):
  • Força externa aplicada no nó C: magnitude \,3000\\ \text{N}\, dirigida 30^\circ abaixo da horizontal (apontando para a direita e para baixo).
  • Distâncias horizontais: \,AB=600\\ \text{mm}\, e \,BC=600\\ \text{mm}\,.
  • Distância vertical entre as linhas superior e inferior no ponto médio: \,400\\ \text{mm}\,.
  • Trecho superior à direita do pino vertical tem comprimento horizontal até D: \,300\\ \text{mm}\,.
  • O nó A é um apoio preso à parede (pino) e o nó D é outro apoio preso à parede (pino). Na figura observa-se que, em D, só existe um membro ligado (trecho horizontal), portanto a reação em D só pode ter componente horizontal.
  • O enunciado pede as forças que atuam nos nós A, B e D (ou seja, as reações nos apoios e a força transmitida no nó central/vertical).

Passo 2

Escolha do sistema de eixos e decomposição da força em C. Vou tomar o eixo x positivo para a direita e y positivo para cima. Decomponho a força de 3000\\ \text{N} em componentes horizontal e vertical.
Regra (lembrando): para uma força F com ângulo \theta abaixo da horizontal, a componente horizontal é F\cos\theta (para a direita se a força aponta para a direita) e a componente vertical é -F\sin\theta (negativa porque aponta para baixo).
Calculando:
F_{Cx}=3000\cos30^\circ,\qquad F_{Cy}=-3000\sin30^\circ.
Avaliação numérica (use trigonometria conhecida: \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660254, \sin30^\circ=0{,}5):
F_{Cx}=3000\cdot0{,}8660254\approx 2598{,}08\\ \text{N}, \qquad F_{Cy}=3000\cdot(-0{,}5)=-1500\\ \text{N}.

Passo 3

Observação geométrica importante sobre o apoio D. Olhando a figura vê-se que no ponto D existe apenas o membro horizontal (ligando D ao topo vertical vindo de B). Como só existe um membro ligado em D, a força que o apoio D fornece ao conjunto só pode estar na direção desse membro (direção horizontal). Portanto:
\text{No ponto }D:\quad R_{Dy}=0.
Isto reduz o número de incógnitas e vai permitir encontrar as reações apenas com as equações de equilíbrio do conjunto.

Passo 4

Equilíbrios estáticos do conjunto (forças externas e reações em A e D). Denoto as reações no apoio A por \,R_{Ax} e \,R_{Ay} e no apoio D por \,R_{Dx} (já sabemos que R_{Dy}=0).
Equilíbrios:
  • Soma das forças na direção x:
R_{Ax}+R_{Dx}+F_{Cx}=0.
  • Soma das forças na direção y:
R_{Ay}+R_{Dy}+F_{Cy}=0 \quad\Rightarrow\quad R_{Ay}+0+F_{Cy}=0.
  • Soma dos momentos em relação ao ponto A (para eliminar R_{Ax} e R_{Ay}): tomo momentos positivos no sentido anti-horário. Para um força (F_x,F_y) aplicada num ponto de coordenadas (x,y) o termo de momento em torno de A é M = xF_y - yF_x.
Posições relevantes (origem em A):
A=(0,0),\quad B=(600\\ \text{mm},0),\quad C=(1200\\ \text{mm},0),\quad D=(300\\ \text{mm},400\\ \text{mm}).
Momento da reação em D em relação a A: M_{R_D}=x_D R_{Dy}-y_D R_{Dx}=300\,R_{Dy}-400\,R_{Dx}. Como R_{Dy}=0:
M_{R_D}=-400\,R_{Dx}.
Momento da força em C: M_C = x_C F_{Cy} - y_C F_{Cx} = 1200\cdot F_{Cy} - 0\cdot F_{Cx} = 1200\cdot(-1500) = -1\,800\,000\\ \text{N·mm}.
Equação de momentos em A (somando todos os momentos externos = 0):
-400\,R_{Dx} + (-1\,800\,000)=0 \quad\Rightarrow\quad -400\,R_{Dx}=1\,800\,000.

Passo 5

Resolver a equação de momento para R_{Dx}:
R_{Dx}=-\dfrac{1\,800\,000}{400}=-4500\\ \text{N}.
Interpretação do sinal: o sinal negativo com a convenção positiva para R_{Dx} para a direita significa que a reação em D atua para a esquerda com magnitude 4500\\ \text{N}. Como R_{Dy}=0, a reação no nó D é puramente horizontal para a esquerda.

Passo 6

Agora uso as equações de equilíbrio em x e y para obter R_{Ax} e R_{Ay}.
Soma das forças em x:
R_{Ax}+R_{Dx}+F_{Cx}=0 \quad\Rightarrow\quad R_{Ax}+(-4500)+2598{,}08=0.
Logo
R_{Ax}=4500-2598{,}08=1901{,}92\\ \text{N}.
Soma das forças em y:
R_{Ay}+F_{Cy}=0 \quad\Rightarrow\quad R_{Ay}+(-1500)=0 \quad\Rightarrow\quad R_{Ay}=1500\\ \text{N}.
Verificação rápida (opcional): momento em torno de D com esses valores também fecha, confirmando consistência.

Passo 7

Força atuante no nó B. O nó B é o ponto onde está ligado o pino vertical (ligando ao topo que se apoia em D) e os membros da viga/truss. Se isolarmos a metade esquerda do sistema (do apoio A até o nó B), a única força vertical externa sobre essa metade é R_{Ay} (para cima) e a força transmitida pelo membro vertical em B (que chamarei de F_{Bv}, sentido positivo para cima sobre a metade esquerda). Para equilíbrio vertical dessa subparte:
R_{Ay} + F_{Bv} = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{Bv} = -R_{Ay} = -1500\\ \text{N}.
Isto significa que o membro vertical exerce sobre a metade esquerda uma força de 1500\\ \text{N} para baixo; equivalente a dizer que o membro vertical está comprimido e a sua intensidade é 1500\\ \text{N}. Em termos do nó B (força que age no nó inferior B vinda do membro vertical): o nó B recebe uma força vertical para cima de 1500\\ \text{N} por parte do membro vertical? Atenção ao sinal: a equação mostrou que, sobre a metade esquerda, F_{Bv}=-1500\\ \text{N} (ou seja, o membro exerce para baixo sobre a metade esquerda). Portanto, olhando o nó B isoladamente, o membro vertical aplica sobre o nó B uma força para cima de 1500\\ \text{N} no extremo inferior do membro (o par ação–reação). Em palavras simples: o membro vertical está solicitando 1500\\ \text{N} no nó B (força vertical de 1500\\ \text{N}), e sua condição é de compressão (empurra o nó inferior para baixo, empurrando o nó superior para cima).
Resumo prático e facilmente usado na prova:
  • Reação em D: horizontal de 4500\\ \text{N} para a esquerda.
  • Reação em A: componentes R_{Ax}=1901{,}92\\ \text{N} para a direita e R_{Ay}=1500\\ \text{N} para cima.
  • Força no membro vertical em B: intensidade 1500\\ \text{N} (compressão), transmitindo 1500\\ \text{N} vertical no nó B.

Resposta

R_A=(R_{Ax},R_{Ay})=(1901{,}92\\ \text{N (para a direita)},\;1500\\ \text{N (para cima)})
F_B=1500\\ \text{N (força vertical no nó \(B; membro vertical em compressão)})
R_D=(R_{Dx},R_{Dy})=(-4500\\ \text{N (para a direita negativo, ou seja, 4500 N para a esquerda)},\;0)

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