Uma pilha consegue mover 1 milhão de elétrons por segundo ao longo de um fio quântico semicondutor para alimentar um LED conectado a este. Cada elétron possui energia cinética de 2,0 \mathrm{eV}. A conexão do fio com o LED é um contato ôhmico cuja energia potencial é igual 6,5 \mathrm{eV} e largura L=5 \AA ̊. Se o LED tem uma corrente de limiar (aquela que o faz entrar em operação) de 8 \mu A, mostre se o LED acederá ou não. Faça os cálculos apropriados.

Passo 1

O enunciado traz uma pilha que envia N=1{,}0\times10^{6} elétrons por segundo num fio semicondutor para alimentar um LED, cada elétron com energia cinética E=2{,}0\\ \mathrm{eV}. Entre o fio e o LED existe uma barreira ôhmica de altura V_{0}=6{,}5\\ \mathrm{eV} e largura L=5\\ \text{\AA}. O LED precisa de corrente de limiar I_{\text{th}}=8\\ \mu\mathrm{A} para acender.
Conteúdo: corrente elétrica elementar e tunelamento quântico (barreira retangular). Vamos (1) calcular a corrente sem barreira, (2) achar a probabilidade de tunelamento T e (3) obter a corrente efetiva e comparar com I_{\text{th}}.

Passo 2

Sem barreira, a corrente gerada pela pilha é
I_{0} = N\,e = \bigl(1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{s}^{-1}\bigr)\,\bigl(1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}\bigr) =1{,}602\times10^{-13}\\ \mathrm{A}.

Passo 3

A diferença entre a altura da barreira e a energia cinética é
V_{0}-E = 6{,}5\\ \mathrm{eV} - 2{,}0\\ \mathrm{eV} = 4{,}5\\ \mathrm{eV}.
Convertendo para joules:
V_{0}-E = 4{,}5\times1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J} =7{,}209\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

No modelo de barreira retangular, a constante de decaimento quântico é
\kappa = \sqrt{\frac{2\,m\,(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}},
com m=9{,}109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg} e \hbar=1{,}055\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}. Calculando:
2\,m\,(V_{0}-E) = 2\,(9{,}109\times10^{-31})\,(7{,}209\times10^{-19}) \approx1{,}314\times10^{-48}\\ (\mathrm{J}^{2}),
\kappa = \frac{\sqrt{1{,}314\times10^{-48}}}{1{,}055\times10^{-34}} \approx1{,}09\times10^{10}\\ \mathrm{m}^{-1}.
Assim o expoente é \kappa L = (1{,}09\times10^{10})(5\times10^{-10})\approx5{,}45 e a probabilidade de tunelamento
T \approx e^{-2\,\kappa\,L} = e^{-10{,}9}\approx1{,}8\times10^{-5}.

Passo 5

A corrente que efetivamente atravessa a barreira é
I = I_{0}\,T \approx (1{,}602\times10^{-13}\\ \mathrm{A})\,(1{,}8\times10^{-5}) \approx2{,}9\times10^{-18}\\ \mathrm{A}.
Comparando com o limiar I_{\text{th}}=8\,\mu\mathrm{A}=8\times10^{-6}\\ \mathrm{A}, vemos que
I \ll I_{\text{th}}.

Resposta

O LED não acenderá, pois a corrente tunelada \sim10^{-18}\\ \mathrm{A} é muito menor que o limiar de 8\\ \mu\mathrm{A}.

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