Em sala de aula resolvemos o problema do oscilador harmônico quântico e encontramos uma expressão para os valores de sua energia. Aqui você vai resolver o mesmo problema, mas para o caso de “semi-oscilador harmônico”, ou seja, um que esteja sujeito ao potencial:
Mostre que as novas energias podem ser dadas escritas como:
Passo 1
O enunciado define o “semi-oscilador harmônico” com potencial
ou seja, para
temos o mesmo potencial do oscilador harmônico usual, mas obrigatório
pela barreira infinita. Para resolver, vamos usar a equação de Schrödinger estacionária e depois impor essa condição no
.
Passo 2
Para
a equação de Schrödinger unidimensional é
Sabemos que as soluções desta equação, no domínio inteiro
, são as funções próprias do oscilador harmônico, dadas em termos de polinômios de Hermite, com energias
e paridade
.
Passo 3
As autofunções do oscilador harmônico completo satisfazem
ou seja, para
par
(função ímpar de ordem par não se anula em zero) e para
ímpar
.
Passo 4
No semi-oscilador impomos
. Logo, só podemos escolher as autofunções do oscilador completo que já se anulam em
, ou seja, as de
ímpar. Escrevendo
com
, as energias correspondentes são
Passo 5
Bastando reindexar
, chegamos ao resultado desejado para o semi-oscilador harmônico: