Um pinguim percorre 14,7 \mathrm{~km} em um ângulo de 35^{\circ} ao sul do leste. Encontre os componentes leste e norte da caminhada deste pinguim. [R: dl=12.0 km; dn= -8.43 km ]

Passo 1

O enunciado dá uma caminhada do pinguim com as seguintes informações:
  • Comprimento total da caminhada: L=14{,}7\\ \mathrm{km}.
  • Direção: 35^\circ ao sul do leste.
O que o problema pede:
  • Encontrar o componente leste da caminhada (vamos chamar de d_l).
  • Encontrar o componente norte da caminhada (vamos chamar de d_n).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A direção “ao sul do leste” significa que partimos para o leste e giramos 35^\circ no sentido em direção ao sul. Logo o componente na direção leste deve ser positivo e o componente na direção norte será negativo (porque o deslocamento tem parte para o sul).

Passo 2

Como decompor um deslocamento em componentes (aula rapidinha de trig com boa vibe)
  • Imagine o vetor deslocamento de comprimento L formando um triângulo retângulo com os eixos leste–oeste (horizontal) e norte–sul (vertical).
  • Em trigonometria do triângulo retângulo temos as definições básicas:
    • \cos de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa: \cos\theta = \dfrac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}}.
    • \sin de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa: \sin\theta = \dfrac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}.
  • Aqui o ângulo relevante é \theta=35^\circ medido a partir do eixo leste para o sul. O cateto adjacente corresponde ao componente leste d_l. O cateto oposto corresponde ao componente sul; como queremos a componente norte, teremos sinal negativo para indicar sentido contrário ao norte.
Portanto as fórmulas de decomposição ficam:
d_l = L\cos\theta, \qquad d_n = -\,L\sin\theta.
Explicando as letras:
  • L é o comprimento total do deslocamento.
  • \theta é o ângulo medido a partir do leste em direção ao sul.
  • d_l é a projeção do deslocamento no eixo leste (positiva para leste).
  • d_n é a projeção no eixo norte (positiva para norte; negativa se for para o sul).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao componente leste:
d_l = L\cos\theta = 14{,}7\cos 35^\circ.
Agora precisamos do valor numérico de \cos 35^\circ. Usando uma tabela ou calculadora:
\cos 35^\circ \approx 0{,}819152.
Multiplicando:
d_l \approx 14{,}7\times 0{,}819152 \approx 12{,}04\\ \mathrm{km}.
Escolhendo uma apresentação prática com três algarismos significativos (parecido com a resposta esperada), arredondamos para
d_l \approx 12{,}0\\ \mathrm{km}.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao componente norte (lembrando que o movimento tem parte para o sul, logo sinal negativo):
d_n = -\,L\sin\theta = -\,14{,}7\sin 35^\circ.
Valor numérico de \sin 35^\circ (tabela/ calculadora):
\sin 35^\circ \approx 0{,}573576.
Multiplicando:
d_n \approx -\,14{,}7\times 0{,}573576 \approx -8{,}43\\ \mathrm{km}.
Mantendo a precisão adequada, ficamos com
d_n \approx -8{,}43\\ \mathrm{km}.

Passo 5

Verificação rápida (controle de sensação): se juntarmos os componentes em um triângulo retângulo, a hipotenusa deve voltar a ser L. Usando valores não arredondados:
\sqrt{(12{,}04)^2 + (-8{,}43)^2}\approx \sqrt{144{,}96 + 71{,}04}\approx \sqrt{216{,}00}\approx 14{,}7\\ \mathrm{km},
o que confere com o comprimento inicial (pequenas diferenças vêm de arredondamento). Isso dá confiança de que os sinais e a decomposição estão corretos.

Resposta

d_l = 12{,}0\\ \mathrm{km}
d_n = -8{,}43\\ \mathrm{km}

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