Dado os vetores:
\begin{aligned} & a^{\vec{c}}=2 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+4 \hat{k} \\\ & b^{\vec{c}}=1 \hat{\imath}-1 \hat{\jmath}+1 \hat{k} \end{aligned}
Calcule
(a) \vec{a} X b
(b) Seno do ângulo entre esses vetores.
(c) Vetor unitário perpendicular a cada vetor

Passo 1

O enunciado nos dá os dois vetores (vou reescrever em componente para ficar claro):
\vec{a}=2\hat{\imath}+3\hat{\jmath}+4\hat{k},\qquad \vec{b}=1\hat{\imath}-1\hat{\jmath}+1\hat{k}.
O que se pede:
(a) calcular o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b};
(b) calcular o seno do ângulo entre \vec{a} e \vec{b};
(c) encontrar um vetor unitário perpendicular a ambos os vetores (isto é, um vetor unitário que seja ortogonal simultaneamente a \vec{a} e a \vec{b}).
Vou proceder passo a passo, explicando as fórmulas e cada conta.

Passo 2

Fórmula do produto vetorial e ideia geométrica:
  • O produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} é um vetor perpendicular a \vec{a} e a \vec{b}, com direção dada pela regra da mão direita e módulo |\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre eles.
  • Em coordenadas, para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) vale
\vec{a}\times\vec{b}=\big(a_2b_3-a_3b_2\big)\hat{\imath} +\big(a_3b_1-a_1b_3\big)\hat{\jmath} +\big(a_1b_2-a_2b_1\big)\hat{k}.
Vou aplicar essa fórmula com a_1=2,\;a_2=3,\;a_3=4 e b_1=1,\;b_2=-1,\;b_3=1.

Passo 3

Cálculo componente a componente do produto vetorial:
  • Componente \hat{\imath}:
a_2b_3-a_3b_2=3\cdot1-4\cdot(-1)=3+4=7.
  • Componente \hat{\jmath}:
a_3b_1-a_1b_3=4\cdot1-2\cdot1=4-2=2.
  • Componente \hat{k}:
a_1b_2-a_2b_1=2\cdot(-1)-3\cdot1=-2-3=-5.
Portanto
\vec{a}\times\vec{b}=7\hat{\imath}+2\hat{\jmath}-5\hat{k}.

Passo 4

Verificação rápida (opcional, didática): mostrar que \vec{a}\times\vec{b} é ortogonal a \vec{a} e a \vec{b} calculando produtos escalar:
  • \vec{a}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=2\cdot7+3\cdot2+4\cdot(-5)=14+6-20=0. OK, ortogonal a \vec{a}.
  • \vec{b}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=1\cdot7+(-1)\cdot2+1\cdot(-5)=7-2-5=0. OK, ortogonal a \vec{b}.
    Isso confirma geometricamente que o produto vetorial está correto.

Passo 5

Agora vamos ao seno do ângulo entre os vetores. Fórmula útil:
\sin\theta=\frac{|\vec{a}\times\vec{b}|}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}.
Então preciso dos módulos (normas) de \vec{a}, \vec{b} e de \vec{a}\times\vec{b}.
Calculemos as normas:
  • Norma de \vec{a}:
|\vec{a}|=\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}.
  • Norma de \vec{b}:
|\vec{b}|=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.
  • Norma de \vec{a}\times\vec{b} (usando as componentes 7,2,-5):
|\vec{a}\times\vec{b}|=\sqrt{7^2+2^2+(-5)^2}=\sqrt{49+4+25}=\sqrt{78}.

Passo 6

Aplicando a fórmula do seno:
\sin\theta=\frac{\sqrt{78}}{\sqrt{29}\,\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{78}}{\sqrt{87}}=\sqrt{\frac{78}{87}}.
Simplificando a fração \dfrac{78}{87} dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{78}{87}=\frac{26}{29}.
Logo
\sin\theta=\sqrt{\frac{26}{29}}.
Se for útil, aproximadamente \sin\theta\approx0{,}9466 (mas a forma exata \sqrt{26/29} é preferível).

Passo 7

Agora o vetor unitário perpendicular a cada vetor (ou seja, perpendicular a ambos). Observação importante: qualquer vetor perpendicular a ambos é paralelo a \vec{a}\times\vec{b}. Para obter um vetor unitário, basta normalizar \vec{a}\times\vec{b}:
  • Primeiro, a direção é \vec{a}\times\vec{b}= (7,2,-5).
  • A unidade na direção positiva é
\hat{u}=\frac{\vec{a}\times\vec{b}}{|\vec{a}\times\vec{b}|} =\frac{1}{\sqrt{78}}\big(7\hat{\imath}+2\hat{\jmath}-5\hat{k}\big).
Observação: o vetor unitário oposto -\hat{u} também é perpendicular a ambos. Portanto existem dois vetores unitários (antiparalelos) que satisfazem a condição:
\pm\frac{1}{\sqrt{78}}\big(7\hat{\imath}+2\hat{\jmath}-5\hat{k}\big).

Resposta

(a) \vec{a}\times\vec{b}=7\hat{\imath}+2\hat{\jmath}-5\hat{k}
(b) \displaystyle \sin\theta=\sqrt{\frac{26}{29}}
(c) \displaystyle \pm\frac{1}{\sqrt{78}}\big(7\hat{\imath}+2\hat{\jmath}-5\hat{k}\big)

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