Dado os vetores:
Calcule
(a)
(b) Seno do ângulo entre esses vetores.
(c) Vetor unitário perpendicular a cada vetor
(a)
(b) Seno do ângulo entre esses vetores.
(c) Vetor unitário perpendicular a cada vetor
Passo 1
O enunciado nos dá os dois vetores (vou reescrever em componente para ficar claro):
O que se pede:
(a) calcular o produto vetorial ;
(b) calcular o seno do ângulo entre e
;
(c) encontrar um vetor unitário perpendicular a ambos os vetores (isto é, um vetor unitário que seja ortogonal simultaneamente a e a
).
(a) calcular o produto vetorial
(b) calcular o seno do ângulo entre
(c) encontrar um vetor unitário perpendicular a ambos os vetores (isto é, um vetor unitário que seja ortogonal simultaneamente a
Vou proceder passo a passo, explicando as fórmulas e cada conta.
Passo 2
Fórmula do produto vetorial e ideia geométrica:
- O produto vetorial
é um vetor perpendicular a e a , com direção dada pela regra da mão direita e módulo , onde é o ângulo entre eles. - Em coordenadas, para
e vale
Vou aplicar essa fórmula com
e
.
Passo 3
Cálculo componente a componente do produto vetorial:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Portanto
Passo 4
Verificação rápida (opcional, didática): mostrar que
é ortogonal a
e a
calculando produtos escalar:
-
. OK, ortogonal a . -
. OK, ortogonal a .
Isso confirma geometricamente que o produto vetorial está correto.
Passo 5
Agora vamos ao seno do ângulo entre os vetores. Fórmula útil:
Então preciso dos módulos (normas) de
,
e de
.
Calculemos as normas:
- Norma de
:
- Norma de
:
- Norma de
(usando as componentes ):
Passo 6
Aplicando a fórmula do seno:
Simplificando a fração
dividindo numerador e denominador por
:
Logo
Se for útil, aproximadamente
(mas a forma exata
é preferível).
Passo 7
Agora o vetor unitário perpendicular a cada vetor (ou seja, perpendicular a ambos). Observação importante: qualquer vetor perpendicular a ambos é paralelo a
. Para obter um vetor unitário, basta normalizar
:
- Primeiro, a direção é
. - A unidade na direção positiva é
Observação: o vetor unitário oposto
também é perpendicular a ambos. Portanto existem dois vetores unitários (antiparalelos) que satisfazem a condição:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)