- Uma pirâmide triangular regular tem altura igual a
e aresta lateral igual 3 dm . A área do círculo circunscrito à base da pirâmide é, em
, igual a
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- A pirâmide é triangular regular, ou seja, a base é um triângulo equilátero e o vértice superior projeta perpendicularmente sobre o centro da base.
- A altura da pirâmide é
. - A aresta lateral (comprimento do segmento do vértice da pirâmide até um vértice da base) é
. - Pergunta: qual é a área do círculo circunscrito à base da pirâmide, em
?
Passo 2
Vou nomear e desenhar mentalmente as peças que vamos usar. Seja
o centro (circuncentro) da base (centro do triângulo equilátero), seja
o vértice superior da pirâmide e seja
um vértice da base. Defino
como o raio do círculo circunscrito à base, isto é,
.
Como a pirâmide é regular, o segmento
é a altura da pirâmide e é perpendicular ao plano da base. Assim, os pontos
,
e
formam um triângulo retângulo em
(porque
é perpendicular ao plano da base), com hipotenusa
igual à aresta lateral e catetos
(a altura) e
(o raio
). Vou usar o Teorema de Pitágoras para esse triângulo retângulo.
Recordando o Teorema de Pitágoras: em um triângulo retângulo com hipotenusa de comprimento
e catetos de comprimentos
e
, vale
Aqui podemos identificar
,
e
.
Passo 3
Agora aplico os valores conhecidos na relação do Teorema de Pitágoras. A aresta lateral
é
e a altura
é
. Portanto:
Calculo os quadrados:
Isolando
:
Como
é raio (valor positivo), temos
Passo 4
A área
de um círculo de raio
é dada pela fórmula
onde
é a constante (aprox. 3,14159) e
é o raio. Substituindo
obtemos
Passo 5
Comentário rápido de confirmação (útil pra prova): com
dá para notar que o lado
do triângulo equilátero da base satisfaz
, então
. Isso mostra que, neste caso, a aresta lateral e o lado da base coincidem e a pirâmide é, na verdade, um tetraedro regular de aresta
— confiança extra de que os números fazem sentido.