1. Uma pirâmide triangular regular tem altura igual a \sqrt{6} \mathrm{dm} e aresta lateral igual 3 dm . A área do círculo circunscrito à base da pirâmide é, em \mathrm{dm}^{2}, igual a
    a) 3 \pi
    b) 4 \pi
    c) 5 \pi
    d) 6 \pi

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • A pirâmide é triangular regular, ou seja, a base é um triângulo equilátero e o vértice superior projeta perpendicularmente sobre o centro da base.
  • A altura da pirâmide é \sqrt{6}\\ \mathrm{dm}.
  • A aresta lateral (comprimento do segmento do vértice da pirâmide até um vértice da base) é 3\\ \mathrm{dm}.
  • Pergunta: qual é a área do círculo circunscrito à base da pirâmide, em \mathrm{dm}^2?

Passo 2

Vou nomear e desenhar mentalmente as peças que vamos usar. Seja O o centro (circuncentro) da base (centro do triângulo equilátero), seja V o vértice superior da pirâmide e seja A um vértice da base. Defino R como o raio do círculo circunscrito à base, isto é, R = OA.
Como a pirâmide é regular, o segmento VO é a altura da pirâmide e é perpendicular ao plano da base. Assim, os pontos V, O e A formam um triângulo retângulo em O (porque VO é perpendicular ao plano da base), com hipotenusa VA igual à aresta lateral e catetos VO (a altura) e OA (o raio R). Vou usar o Teorema de Pitágoras para esse triângulo retângulo.
Recordando o Teorema de Pitágoras: em um triângulo retângulo com hipotenusa de comprimento c e catetos de comprimentos a e b, vale
c^2 = a^2 + b^2.
Aqui podemos identificar c = VA, a = VO e b = OA = R.

Passo 3

Agora aplico os valores conhecidos na relação do Teorema de Pitágoras. A aresta lateral VA é 3\\ \mathrm{dm} e a altura VO é \sqrt{6}\\ \mathrm{dm}. Portanto:
3^2 = (\sqrt{6})^2 + R^2.
Calculo os quadrados:
9 = 6 + R^2.
Isolando R^2:
R^2 = 9 - 6 = 3.
Como R é raio (valor positivo), temos
R = \sqrt{3}\\ \mathrm{dm}.

Passo 4

A área A_{\text{círculo}}í de um círculo de raio R é dada pela fórmula
A_{\text{círculo}} = \pi R^2,í
onde \pi é a constante (aprox. 3,14159) e R é o raio. Substituindo R^2 = 3 obtemos
A_{\text{círculo}} = \pi \cdot 3 = 3\pi\\ \mathrm{dm}^2.í

Passo 5

Comentário rápido de confirmação (útil pra prova): com R=\sqrt{3} dá para notar que o lado a do triângulo equilátero da base satisfaz R=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}, então a=3. Isso mostra que, neste caso, a aresta lateral e o lado da base coincidem e a pirâmide é, na verdade, um tetraedro regular de aresta 3 — confiança extra de que os números fazem sentido.

Resposta

3\pi

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