- O raio do círculo circunscrito à base de uma pirâmide quadrangular regular é
. Se a altura da pirâmide é 2 , seu volume é
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que está indicado:
- Raio do círculo circunscrito à base da pirâmide:
. - Altura da pirâmide:
. - Pergunta: calcular o volume da pirâmide quadrangular regular.
Passo 2
Entendendo a base: a pirâmide é quadrangular regular, ou seja, a base é um quadrado de lado que vou chamar de
(toda variável estará em TeX). O círculo circunscrito à base é o círculo que passa pelos quatro vértices do quadrado; o raio desse círculo é o semidiagonal do quadrado. Para achar a relação entre o raio
e o lado
usamos a fórmula da diagonal do quadrado.
A diagonal
de um quadrado de lado
vem do Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo formado por dois lados do quadrado:
O raio do círculo circunscrito é metade da diagonal, portanto
Passo 3
Agora isolamos
na relação entre
e
. A partir de
multiplicamos ambos os lados por
e dividimos por
:
Substituindo o valor dado do raio
:
Calculando
, logo
Portanto o lado do quadrado da base é
.
Passo 4
Área da base: sendo a base um quadrado de lado
, a área da base
é
Substituindo
:
Passo 5
Fórmula do volume da pirâmide: para qualquer pirâmide (base de área
e altura
) o volume
é dado por
Aqui
é a área da base e
é a altura perpendicular da pirâmide.
Passo 6
Substituindo
e
na fórmula do volume:
Calcule passo a passo:
, então
Passo 7
Comparando com as alternativas, o valor corresponde à alternativa (a).
Resposta
a)