1. Uma piscina está sendo esvaziada de tal forma que V(t)=300(20-t)^{2} representa o número de litros de água na piscina t horas após o início da operação. Calcule a velocidade (instatânea) de escoamento da água ao cabo de 8 horas e a velocidade média desse escoamento no mesmo tempo.
  2. Uma estátua de altura h está sendo instalada sobre um pedestal de altura l acima do plano horizontal que passa pelo olho de um observador. Com o observador a uma distância x, calcule a taxa de variação, em relação a x, do ângulo \theta sob o qual o observador vê a estátua, em termos de h, l e x. Qual o valor dessa taxa se h=20, l=5 e x=50 ?

Passo 1

O exercício 16 é sobre taxas de variação de volume em função do tempo, usando derivada para obter a velocidade instantânea e a fórmula de variação média
O exercício 17 é sobre variação de um ângulo de visão \theta em função da distância x, usando derivação de funções arctan

Passo 2

Para o exercício 16, temos
V(t)=300\,(20-t)^{2}.
A velocidade instantânea de escoamento é a derivada
\frac{dV}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl[300\,(20-t)^{2}\bigr] =300\cdot2\,(20-t)\cdot(-1) =-600\,(20-t).

Passo 3

Aos t=8 horas,
\left.\frac{dV}{dt}\right|_{t=8} =-600\,(20-8) =-600\cdot12 =-7200\quad\text{litros/hora}.
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo a 7200 L/h

Passo 4

A velocidade média de escoamento no intervalo de t=0 a t=8 é
\frac{V(8)-V(0)}{8} =\frac{300\cdot12^{2}-300\cdot20^{2}}{8} =\frac{43200-120000}{8} =\frac{-76800}{8} =-9600\quad\text{litros/hora}.

Passo 5

Para o exercício 17, o ângulo de visão da estátua é
\theta(x) =\arctan\!\bigl(\tfrac{l+h}{x}\bigr)\;-\;\arctan\!\bigl(\tfrac{l}{x}\bigr).
Derivando em relação a x e usando \frac{d}{dx}[\arctan(u)]=\frac{u'}{1+u^2}, obtemos
\frac{d\theta}{dx} =\frac{-\,(l+h)/x^{2}}{1+[(l+h)/x]^{2}} \;-\;\frac{-\,l/x^{2}}{1+(l/x)^{2}} =-\frac{l+h}{x^{2}+(l+h)^{2}} +\frac{l}{x^{2}+l^{2}}.

Passo 6

Substituindo h=20, l=5, x=50:
\frac{d\theta}{dx} =\frac{5}{50^{2}+5^{2}} -\frac{25}{50^{2}+25^{2}} =\frac{5}{2525}-\frac{25}{3125} =\frac{1}{505}-\frac{1}{125} \approx -0{,}00602\quad\text{rad por unidade de }x.

Resposta

  1. Velocidade instantânea em t=8: -7200 L/h.
    Velocidade média em [0,8]: -9600 L/h.
\frac{d\theta}{dx} =-\frac{l+h}{x^{2}+(l+h)^{2}} +\frac{l}{x^{2}+l^{2}}
e, para h=20, l=5, x=50: aproximadamente -0{,}00602,rad/unidade de x.

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