1. Uma estátua de altura h está sendo instalada sobre um pedestal de altura l acima do plano horizontal que passa pelo olho de um observador. Com o observador a uma distância x, calcule a taxa de variação, em relação a x, do ângulo \theta sob o qual o observador vê a estátua, em termos de h, l e x. Qual o valor dessa taxa se h=20, l=5 e x=50 ?
  2. A figura ao lado mostra um reservatório cônico de 10 m de altura e 4 m de raio contendo água, que escoa a uma vazão de 5 m^{3} / hora .
    (a) Qual a relação entre as variáveis R e H ?
    (b) A que taxa o nível da água diminui, quando H=6 m ?

Passo 1

Temos dois problemas de taxas relacionadas.
No problema 17, uma estátua de altura h está sobre um pedestal de altura l e o observador, a uma distância x do pé do pedestal, vê a estátua sob um ângulo \theta. Queremos \dfrac{d\theta}{dx}.
No problema 18, um reservatório cônico de altura 10 m e raio 4 m escoa água a \dfrac{dV}{dt}=5 m ^3/h para fora. Em (a) achamos a relação entre o raio R e a altura de água H. Em (b) calculamos \dfrac{dH}{dt} quando H=6.

Passo 2

Para o problema 17, note que a linha de visão ao topo da estátua faz um ângulo
\alpha_2 = \arctan\!\bigl(\tfrac{l+h}{x}\bigr)
e ao pé da estátua faz
\alpha_1 = \arctan\!\bigl(\tfrac{l}{x}\bigr).
Logo
\theta(x) = \alpha_2 - \alpha_1 = \arctan\!\bigl(\tfrac{l+h}{x}\bigr) - \arctan\!\bigl(\tfrac{l}{x}\bigr).

Passo 3

Diferenciando em relação a x e usando \dfrac{d}{dx}\arctan(u)=\dfrac{u'}{1+u^2}, obtemos
\frac{d\theta}{dx} =-\frac{(l+h)/x^2}{1+((l+h)/x)^2} \;+\;\frac{l/x^2}{1+(l/x)^2} =-\frac{l+h}{\,x^2+(l+h)^2\,} +\frac{l}{\,x^2+l^2\,}.

Passo 4

Substituindo h=20, l=5 e x=50:
primeiro termo: -\tfrac{25}{50^2+25^2}=-\tfrac{25}{3125}=-0,008,
segundo termo: \tfrac{5}{50^2+5^2}=\tfrac{5}{2525}\approx0,00198.
Logo
\frac{d\theta}{dx}\approx -0,008 + 0,00198 = -0,00602\quad\text{rad/m}.

Passo 5

No problema 18(a), pela semelhança de triângulos temos
\frac{R}{4}=\frac{H}{10} \quad\Longrightarrow\quad R=\frac{2}{5}\,H.

Passo 6

O volume de água é
V=\frac{1}{3}\pi R^2H =\frac{1}{3}\pi\bigl(\tfrac{2H}{5}\bigr)^2H =\frac{4\pi}{75}\,H^3.
Diferenciando em t:
\frac{dV}{dt} =\frac{4\pi}{25}\,H^2\,\frac{dH}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dH}{dt} =\frac{25}{4\pi H^2}\,\frac{dV}{dt}.

Passo 7

Em (b), \tfrac{dV}{dt}=-5 m ^3/h (sai água) e H=6:
\frac{dH}{dt} =\frac{25}{4\pi\,(6)^2}\,(-5) =-\frac{125}{144\pi}\approx -0,276\quad\text{m/h}.

Resposta

  1. \displaystyle \frac{d\theta}{dx} =-\frac{h+l}{x^2+(h+l)^2}+\frac{l}{x^2+l^2},
    que para h=20,\\ l=5,\\ x=50 dá aproximadamente -0,00602 rad/m.
18(a) R=\tfrac{2}{5}H.
18(b) \displaystyle \frac{dH}{dt} =\frac{25}{4\pi H^2}\,\frac{dV}{dt}, que para H=6 m e \tfrac{dV}{dt}=-5 m ^3/h vale -\tfrac{125}{144\pi}\approx -0,276 m/h.

Exercícios relacionados