- Uma estátua de altura
está sendo instalada sobre um pedestal de altura
acima do plano horizontal que passa pelo olho de um observador. Com o observador a uma distância
, calcule a taxa de variação, em relação a
, do ângulo
sob o qual o observador vê a estátua, em termos de
e
. Qual o valor dessa taxa se
e
?
- A figura ao lado mostra um reservatório cônico de 10 m de altura e
de raio contendo água, que escoa a uma vazão de
hora .
(a) Qual a relação entre as variáveis
e
?
(b) A que taxa o nível da água diminui, quando
?
(a) Qual a relação entre as variáveis
(b) A que taxa o nível da água diminui, quando
Passo 1
Temos dois problemas de taxas relacionadas.
No problema 17, uma estátua de altura está sobre um pedestal de altura
e o observador, a uma distância
do pé do pedestal, vê a estátua sob um ângulo
. Queremos
.
No problema 18, um reservatório cônico de altura m e raio
m escoa água a
m
/h para fora. Em (a) achamos a relação entre o raio
e a altura de água
. Em (b) calculamos
quando
.
No problema 17, uma estátua de altura
No problema 18, um reservatório cônico de altura
Passo 2
Para o problema 17, note que a linha de visão ao topo da estátua faz um ângulo
e ao pé da estátua faz
Logo
Passo 3
Diferenciando em relação a
e usando
, obtemos
Passo 4
Substituindo
,
e
:
primeiro termo: ,
segundo termo: .
Logo
primeiro termo:
segundo termo:
Logo
Passo 5
No problema 18(a), pela semelhança de triângulos temos
Passo 6
O volume de água é
Diferenciando em
:
Passo 7
Em (b),
m
/h (sai água) e
:
Resposta
-
,
que paradá aproximadamente rad/m.
18(a)
18(b) que para
m e
m
/h vale
m/h.
18(b)