Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas por hora, caso faça somente pizzas, e 9 calzones por hora, se fizer somente calzones. Ele gasta 40 g de queijo para preparar uma pizza e 60 g de queijo para fazer um calzone. Sabendo que o total disponível de queijo por dia é de 5 kg , e que uma pizza é vendida por R e o calzone por e o calzone por . Quantas unidades de cada produto devem ser vendidas para maximizar a receita? Nota a pizzaria têm 3 pizzaiolos.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de maximização de receita usando programação linear, que é uma técnica matemática para otimizar resultados sob certas limitações. Precisamos determinar quantas pizzas e calzones a pizzaria deve vender para ganhar mais dinheiro, considerando o tempo de trabalho dos pizzaiolos e a quantidade de queijo disponível.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis que vamos usar. Vamos chamar de:
  • $ x $ = número de pizzas vendidas por dia
  • $ y $ = número de calzones vendidos por dia

Passo 3

Agora, vamos analisar as restrições do problema:
  1. Tempo de trabalho dos pizzaiolos:
    • Cada pizzaiolo trabalha 8 horas por dia.
    • Fazendo somente pizzas: 16 pizzas por hora.
    • Fazendo somente calzones: 9 calzones por hora.
    • Como temos 3 pizzaiolos, o tempo total disponível por dia é $ 3 \times 8 = 24 $ horas.
    A quantidade de tempo usada para fazer pizzas é $ \frac{x}{16} $ horas e para calzones é $ \frac{y}{9} $ horas. Então, a restrição de tempo é:
    3 times 8 = 24
  2. Quantidade de queijo disponível:
    • Cada pizza usa 40 g de queijo.
    • Cada calzone usa 60 g de queijo.
    • O total de queijo disponível por dia é 5 kg, ou seja, 5000 g.
    Então, a restrição de queijo é:
    x16
  3. Não negatividade:
    • Não podemos vender uma quantidade negativa de pizzas ou calzones:
    y9

Passo 4

Agora, vamos expressar a função objetivo, que é a receita total que queremos maximizar. Sabemos que:
  • Cada pizza é vendida por R$ 18,00.
  • Cada calzone é vendido por R$ 22,00.
Então, a função objetivo é:
18,00 - Cada calzone é vendido por R
Queremos maximizar essa função.

Passo 5

Resumindo, nosso modelo de programação linear fica assim:
Maximizar:
18x + 22y
Sujeito a:
x16 + y9 <= 24
40x + 60y <= 5000
x >= 0
y >= 0

Passo 6

Para resolver esse sistema, podemos usar o método gráfico, já que temos duas variáveis. Primeiro, vamos simplificar as restrições:
  1. De tempo:
x16 + y9 <= 24
Multiplicando todos os termos por 144 (mínimo múltiplo de 16 e 9) para eliminar as frações:
9x + 16y <= 3456
  1. De queijo:
40x + 60y <= 5000
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 20:
2x + 3y <= 250
Agora nosso sistema fica:
Maximizar:
18x + 22y
Sujeito a:
9x + 16y <= 3456
2x + 3y <= 250
x >= 0
y >= 0

Passo 7

Vamos encontrar os pontos de interseção das restrições para identificar os vértices da região viável.
  1. Interseção entre $ 9x + 16y = 3456 $ e $ 2x + 3y = 250 $:
Resolvendo o sistema:
9x + 16y = 3456
Podemos resolver pela substituição ou eliminação. Vamos multiplicar a segunda equação por 3:
2x + 3y = 250
Agora, multiplicamos a segunda equação original por 3 para igualar os coeficientes de $ y $:
9x + 16y = 3456 2x + 3y = 250
Subtraindo essa da primeira equação:
6x + 9y = 750
Agora, isolamos $ x $:
y
Substituindo na segunda equação:
6x + 9y = 750 çã
Agora, substituímos $ y $ na equação $ 2x + 3y = 250 $:
(9x + 16y) - (6x + 9y) = 3456 - 750 3x + 7y = 2706
Como $ x $ não pode ser negativo, isso indica que as duas restrições não se cruzam dentro da região viável. Portanto, não há interseção válida entre essas duas linhas.
  1. Interseção com os eixos:
  • Quando $ x = 0 $:
    • Da restrição $ 9x + 16y \leq 3456 $: x
    • Da restrição $ 2x + 3y \leq 250 $: 3x = 2706 - 7y x = 2706 - 7y3
  • Quando $ y = 0 $:
    • Da restrição $ 9x + 16y \leq 3456 $: 2(2706 - 7y3) + 3y = 250 5412 - 14y3 + 3y = 250 Mu
    • Da restrição $ 2x + 3y \leq 250 $: y

Passo 8

Agora, identificamos os vértices da região viável:
  • Ponto A: $ (0, 83.33) $
  • Ponto B: $ (125, 0) $
Além disso, também temos os pontos onde cada restrição intercepta o eixo correspondente:
  • Ponto C: $ (0, 216) $ – mas verificamos que este ponto não satisfaz a segunda restrição $ 2x + 3y \leq 250 $ porque $ 3 \times 216 = 648 > 250 $.
  • Ponto D: $ (384, 0) $ – mas esse também não satisfaz a segunda restrição $ 2 \times 384 = 768 > 250 $.
Portanto, nossa região viável é definida pelos pontos A e B, e possivelmente um ponto de interseção válido, mas como não existe, consideramos apenas A e B.

Passo 9

Vamos calcular a receita em cada um dos vértices da região viável:
  1. No Ponto A: $ x = 0 $, $ y = 83.33 $
x = 0
  1. No Ponto B: $ x = 125 $, $ y = 0 $
y = 83.33

Passo 10

Comparando as receitas, o ponto B oferece uma receita maior. Portanto, para maximizar a receita, a pizzaria deve vender 125 pizzas e 0 calzones por dia.

Resposta

Para maximizar a receita, a pizzaria deve vender 125 pizzas e 0 calzones por dia, gerando uma receita de R$ 2.250,00.

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