Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas por hora, caso faça somente pizzas, e 9 calzones por hora, se fizer somente calzones. Ele gasta 40 g de queijo para preparar uma pizza e 60 g de queijo para fazer um calzone. Sabendo que o total disponível de queijo por dia é de 5 kg , e que uma pizza é vendida por
e o calzone por
. Quantas unidades de cada produto devem ser vendidas para maximizar a receita? Nota a pizzaria têm 3 pizzaiolos.
Passo 1
Vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de maximização de receita usando programação linear, que é uma técnica matemática para otimizar resultados sob certas limitações. Precisamos determinar quantas pizzas e calzones a pizzaria deve vender para ganhar mais dinheiro, considerando o tempo de trabalho dos pizzaiolos e a quantidade de queijo disponível.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis que vamos usar. Vamos chamar de:
- $ x $ = número de pizzas vendidas por dia
- $ y $ = número de calzones vendidos por dia
Passo 3
Agora, vamos analisar as restrições do problema:
-
Tempo de trabalho dos pizzaiolos:
- Cada pizzaiolo trabalha 8 horas por dia.
- Fazendo somente pizzas: 16 pizzas por hora.
- Fazendo somente calzones: 9 calzones por hora.
- Como temos 3 pizzaiolos, o tempo total disponível por dia é $ 3 \times 8 = 24 $ horas.
A quantidade de tempo usada para fazer pizzas é $ \frac{x}{16} $ horas e para calzones é $ \frac{y}{9} $ horas. Então, a restrição de tempo é: -
Quantidade de queijo disponível:
- Cada pizza usa 40 g de queijo.
- Cada calzone usa 60 g de queijo.
- O total de queijo disponível por dia é 5 kg, ou seja, 5000 g.
Então, a restrição de queijo é: -
Não negatividade:
- Não podemos vender uma quantidade negativa de pizzas ou calzones:
Passo 4
Agora, vamos expressar a função objetivo, que é a receita total que queremos maximizar. Sabemos que:
- Cada pizza é vendida por R$ 18,00.
- Cada calzone é vendido por R$ 22,00.
Então, a função objetivo é:
Queremos maximizar essa função.
Passo 5
Resumindo, nosso modelo de programação linear fica assim:
Maximizar:
Sujeito a:
Passo 6
Para resolver esse sistema, podemos usar o método gráfico, já que temos duas variáveis. Primeiro, vamos simplificar as restrições:
- De tempo:
Multiplicando todos os termos por 144 (mínimo múltiplo de 16 e 9) para eliminar as frações:
- De queijo:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 20:
Agora nosso sistema fica:
Maximizar:
Sujeito a:
Passo 7
Vamos encontrar os pontos de interseção das restrições para identificar os vértices da região viável.
- Interseção entre $ 9x + 16y = 3456 $ e $ 2x + 3y = 250 $:
Resolvendo o sistema:
Podemos resolver pela substituição ou eliminação. Vamos multiplicar a segunda equação por 3:
Agora, multiplicamos a segunda equação original por 3 para igualar os coeficientes de $ y $:
Subtraindo essa da primeira equação:
Agora, isolamos $ x $:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituímos $ y $ na equação $ 2x + 3y = 250 $:
Como $ x $ não pode ser negativo, isso indica que as duas restrições não se cruzam dentro da região viável. Portanto, não há interseção válida entre essas duas linhas.
- Interseção com os eixos:
-
Quando $ x = 0 $:
- Da restrição $ 9x + 16y \leq 3456 $:
- Da restrição $ 2x + 3y \leq 250 $:
- Da restrição $ 9x + 16y \leq 3456 $:
-
Quando $ y = 0 $:
- Da restrição $ 9x + 16y \leq 3456 $:
- Da restrição $ 2x + 3y \leq 250 $:
- Da restrição $ 9x + 16y \leq 3456 $:
Passo 8
Agora, identificamos os vértices da região viável:
- Ponto A: $ (0, 83.33) $
- Ponto B: $ (125, 0) $
Além disso, também temos os pontos onde cada restrição intercepta o eixo correspondente:
- Ponto C: $ (0, 216) $ – mas verificamos que este ponto não satisfaz a segunda restrição $ 2x + 3y \leq 250 $ porque $ 3 \times 216 = 648 > 250 $.
- Ponto D: $ (384, 0) $ – mas esse também não satisfaz a segunda restrição $ 2 \times 384 = 768 > 250 $.
Portanto, nossa região viável é definida pelos pontos A e B, e possivelmente um ponto de interseção válido, mas como não existe, consideramos apenas A e B.
Passo 9
Vamos calcular a receita em cada um dos vértices da região viável:
- No Ponto A: $ x = 0 $, $ y = 83.33 $
- No Ponto B: $ x = 125 $, $ y = 0 $
Passo 10
Comparando as receitas, o ponto B oferece uma receita maior. Portanto, para maximizar a receita, a pizzaria deve vender 125 pizzas e 0 calzones por dia.
Resposta
Para maximizar a receita, a pizzaria deve vender 125 pizzas e 0 calzones por dia, gerando uma receita de R$ 2.250,00.